从 python 而不是 l2 获取 l1 归一化特征向量？
Getting l1 normalized eigenvectors from python instead of l2?
考虑这个矩阵：
[.6, .7]
[.4, .3]
这是马尔可夫链矩阵；每列总和为 1。这可以表示人口分布、转换率等。
为了使总体处于平衡状态，取特征值和特征向量...
来自 wolfram alpha，特征值及其对应的特征向量是：
l1 = 1, v1 = [4/7, 1]
l2 = -1/10, v2 = [-1,1]
对于处于平衡状态的总体，取对应于特征值 1 的特征向量，并对其进行缩放，使总数 = 1。
Vector = [7/4, 1]
Total = 11/4
所以向量乘以 4/11...
4/11 * [7/4, 1] = [7/11, 4/11]
因此，在平衡状态下，第一个州占人口的 7/11，另一个州占人口的 4/11。
如果您采用所需的特征向量，[7/4, 1] 并对其进行 l2 归一化（因此所有平方值总和为 1），您将大致得到 [.868, .496].
没关系。但是当你从 python...
得到特征向量时
mat = np.array([[.6, .7], [.4, .3]])
vals, vecs = np.linalg.eig(mat)
vecs = vecs.T #(because you want left eigenvectors)
它吐出的特征向量之一是 [.868, .496]，对于 l2 范数。现在，您可以很容易地再次缩放它，使每个值的总和为 1（而不是每个值的平方和）为 1...只需执行 vector * 1/sum(vector)。但是有没有办法跳过这一步呢？为什么要将计算费用添加到我的脚本中，每次执行此操作时都必须对向量求和？你能得到 numpy、scipy 等来吐出 l1 归一化向量而不是 l2 归一化向量吗？另外，术语 l1 和 l2... 的用法是否正确？
注意：我已经看到以前的问题询问如何以这种方式获得马尔可夫稳态。我的问题不同，我问的是如何让 numpy 以我想要的方式吐出一个归一化的向量，我通过包括马尔可夫部分来解释我的推理。
我认为您假设 np.linalg.eig 像您手动计算特征向量和特征值一样。它没有。 在幕后，它使用了一个高度优化的（著名的）FORTRAN 库，称为 LAPACK。该库使用的数值技术有点超出范围，但长话短说，它不会像您手动那样计算 2x2 的特征值。我相信它大部分时间使用 the QR algorithm，有时使用 QZ，甚至其他。这并不是那么简单：我认为它有时甚至会根据矩阵 structure/size 选择不同的算法（我不是 LAPACK 专家，所以不要在这里引用我的话）。我所知道的是，LAPACK 已经经过了大约 40 年的审查，它的速度非常快，而且速度越快，复杂性就越高。
另一方面，Wolfram Alpha 在后端使用 Mathematica，这是一个符号求解器（即不是浮点运算）。这就是为什么您得到 "same" 结果就像您手动完成一样。
长话短说，要求您从 np.linalg.eig 获得 L1 范数是不可能的： 如果您查看 QR 算法，每次迭代都会有L2 归一化向量（收敛到特征向量）。你很难从大多数数值库中获取它，原因很简单，因为它们中的很多都依赖于 LAPACK 或使用类似的算法（例如 MATLAB 也输出单位向量）。
归根结底，向量是否归一化并不重要。它确实必须朝着正确的方向发展。如果您需要按比例缩放它，那么就这样做。它将被 numpy 向量化（即快速），因为它是一个简单的乘法。
HTH.
考虑这个矩阵：
[.6, .7]
[.4, .3]
这是马尔可夫链矩阵；每列总和为 1。这可以表示人口分布、转换率等。
为了使总体处于平衡状态，取特征值和特征向量...
来自 wolfram alpha，特征值及其对应的特征向量是：
l1 = 1, v1 = [4/7, 1]
l2 = -1/10, v2 = [-1,1]
对于处于平衡状态的总体，取对应于特征值 1 的特征向量，并对其进行缩放，使总数 = 1。
Vector = [7/4, 1]
Total = 11/4
所以向量乘以 4/11...
4/11 * [7/4, 1] = [7/11, 4/11]
因此，在平衡状态下，第一个州占人口的 7/11，另一个州占人口的 4/11。
如果您采用所需的特征向量，[7/4, 1] 并对其进行 l2 归一化（因此所有平方值总和为 1），您将大致得到 [.868, .496].
没关系。但是当你从 python...
得到特征向量时mat = np.array([[.6, .7], [.4, .3]])
vals, vecs = np.linalg.eig(mat)
vecs = vecs.T #(because you want left eigenvectors)
它吐出的特征向量之一是 [.868, .496]，对于 l2 范数。现在，您可以很容易地再次缩放它，使每个值的总和为 1（而不是每个值的平方和）为 1...只需执行 vector * 1/sum(vector)。但是有没有办法跳过这一步呢？为什么要将计算费用添加到我的脚本中，每次执行此操作时都必须对向量求和？你能得到 numpy、scipy 等来吐出 l1 归一化向量而不是 l2 归一化向量吗？另外，术语 l1 和 l2... 的用法是否正确？
注意：我已经看到以前的问题询问如何以这种方式获得马尔可夫稳态。我的问题不同，我问的是如何让 numpy 以我想要的方式吐出一个归一化的向量，我通过包括马尔可夫部分来解释我的推理。
我认为您假设 np.linalg.eig 像您手动计算特征向量和特征值一样。它没有。 在幕后，它使用了一个高度优化的（著名的）FORTRAN 库，称为 LAPACK。该库使用的数值技术有点超出范围，但长话短说，它不会像您手动那样计算 2x2 的特征值。我相信它大部分时间使用 the QR algorithm，有时使用 QZ，甚至其他。这并不是那么简单：我认为它有时甚至会根据矩阵 structure/size 选择不同的算法（我不是 LAPACK 专家，所以不要在这里引用我的话）。我所知道的是，LAPACK 已经经过了大约 40 年的审查，它的速度非常快，而且速度越快，复杂性就越高。
另一方面，Wolfram Alpha 在后端使用 Mathematica，这是一个符号求解器（即不是浮点运算）。这就是为什么您得到 "same" 结果就像您手动完成一样。
长话短说，要求您从 np.linalg.eig 获得 L1 范数是不可能的： 如果您查看 QR 算法，每次迭代都会有L2 归一化向量（收敛到特征向量）。你很难从大多数数值库中获取它，原因很简单，因为它们中的很多都依赖于 LAPACK 或使用类似的算法（例如 MATLAB 也输出单位向量）。
归根结底，向量是否归一化并不重要。它确实必须朝着正确的方向发展。如果您需要按比例缩放它，那么就这样做。它将被 numpy 向量化（即快速），因为它是一个简单的乘法。
HTH.