每个 monad 都是一个应用函子——泛化到其他类别

Question

我可以很容易地在 Haskell 中定义一般 Functor 和 Monad classes:

class (Category s, Category t) => Functor s t f where
    map :: s a b -> t (f a) (f b)

class Functor s s m => Monad s m where
    pure :: s a (m a)
    join :: s (m (m a)) (m a)
    join = bind id
    bind :: s a (m b) -> s (m a) (m b)
    bind f = join . map f

我正在阅读 this post，其中解释了应用函子是松散（封闭或幺半群）函子。它是根据（指数或幺半群）双函子来实现的。我知道在 Haskell 类别中，每个 Monad 都是 Applicative；我们如何概括？我们应该如何选择（指数或幺半群）函子来定义 Applicative？令我困惑的是我们的 Monad class 似乎对（封闭或幺半群）结构没有任何概念。

编辑：一位评论者说这通常不可能，所以现在我的部分问题是在什么地方可能。

Answer 1

What confuses me is our Monad class seems to have no notion whatsoever of the (closed or monoidal) structure.

如果我正确理解你的问题，那将通过 monad 的张量强度提供。 Monad class 没有它，因为它是 Hask 类别的固有内容。更具体地说，假设是：

t :: Monad m => (a, m b) -> m (a,b)
t (x, my) = my >>= \y -> return (x,y)

Answer 2

本质上，幺半群函子方法中涉及的所有幺半群东西都发生在目标类别上。可以形式化为^†:

class (Category s, Category t) => Functor s t f where
  map :: s a b -> t (f a) (f b)

class Functor s t f => Monoidal s t f where
  pureUnit :: t () (f ())
  fzip :: t (f a,f b) (f (a,b))

s-态射只有在你考虑幺半群函子的定律时才会出现，它粗略地说 s 的幺半群结构应该映射到 [=17= 的幺半群结构] 由仿函数。

也许更有见地的是将 fmap 分解为 class 方法，这样就清楚了仿函数的“func-”部分的作用：

class Functor s t f => Monoidal s t f where
  ...
  puref :: s () y -> t () (f y)
  puref f = map f . pureUnit
  fzipWith :: s (a,b) c -> t (f a,f b) (f c)
  fzipWith f = map f . fzip

从Monoidal，我们可以找回我们的好旧Hask-Applicative 因此：

pure :: Monoidal (->) (->) f => a -> f a
pure a = puref (const a) ()

(<*>) :: Monoidal (->) (->) f => f (a->b) -> f a -> f b
fs <*> xs = fzipWith (uncurry ($)) (fs, xs)

或

liftA2 :: Monoidal (->) (->) f => (a->b->c) -> f a -> f b -> f c
liftA2 f xs ys = fzipWith (uncurry f) (xs,ys)

也许在这种情况下更有趣的是另一个方向，因为这向我们展示了在一般情况下与 monad 的联系：

instance Applicative f => Monoidal (->) (->) f where
  pureUnit = pure
  fzip = \(xs,ys) -> liftA2 (,) xs ys
       = \(xs,ys) -> join $ map (\x -> map (x,) ys) xs

lambda 和元组部分在一般类别中不可用，但它们可以 translated to cartesian closed categories。

^†_{我使用 (,) 作为两个幺半群类别中的产品，具有标识元素 ()。更一般地说，您可以为产品及其各自的标识元素编写 data I_s 和 data I_t 以及 type family (⊗) x y 和 type family (∙) x y。}

每个 monad 都是一个应用函子——泛化到其他类别

Every monad is an applicative functor — generalizing to other categories

haskell

functor

categories

category-theory

applicative