通过 CRC（循环冗余校验）进行单位错误检测
Single-bit Error Detection through CRC(Cyclic Redundancy Check)
我正在解决一些与基于 CRC 生成器的单位错误检测相关的问题，并试图分析哪些生成器检测单位错误，哪些不检测。
假设，如果我有一个 CRC 生成多项式作为 x4 + x2。现在我想知道它是否保证 检测到一位错误？
1) 如果误差多项式 xk 的 k=1,2,3，则余数将为 x,x2， x3 分别在多项式除以生成多项式 x4 + x2 和根据参考文献，如果生成器有多个项并且 x0 的系数为 1，则可以捕获所有单位错误。但它并没有说如果 x0 的系数不为 1 则无法检测到单位错误。意思是 "In a cyclic code , those e(x) errors that are divisible by g(x) are not caught."
2) 我必须检查 E(x)/g(x) 的余数，其中 E(x)（假设，它是 xk） 其中，k= 1,2,3,... 是误差多项式，g(x) 是生成多项式。如果余数为零，那么我无法检测到错误，当它不为零时，我就可以检测到它。
所以，根据我的说法，生成多项式 x4 +x2 保证了基于上述的单比特错误检测2 points.Please确认我说的对不对
if coefficient of x0 is not 1 then single bit error can't be detected?
如果x0的系数不为1，则相当于将CRC多项式左移1（或更多）位（乘以x的某个次方） .将 CRC 多项式左移 1 位或更多位不会影响它检测错误的能力，它只是将 1 位或更多零位附加到代码字的末尾。
generator polynomial x4 + x2 guarantees the detection of single-bit error
正确。 x4 + x2 是 x2 + 1 左移两位，x4 + x2 = (x2) (x2 + 1 ) = (x2) (x + 1) (x + 1) ，并且由于 x2 + 1 可以检测任何一位错误，那么 x4 + x2 也可以。同样对于 (x + 1) 项（其中两个），它添加了偶数奇偶校验并且可以检测任何奇数位错误。
一般来说，无论消息长度如何，所有 CRC 多项式都可以检测到一位错误。所有的 CRC 多项式都有一个 "cylic" 周期：如果您使用 CRC 多项式作为 Linear Feedback Shift Register 的基础，并且初始值为 000...0001，那么经过一些固定的循环次数后，它将循环回到 000...0001。 CRC 最简单的故障是出现 2 位错误，其中 2 位之间的距离等于循环周期。假设 8 位 CRC（9 位多项式）的周期为 255，那么 2 位错误，一个在位 [0]，一个在位 [255] 将导致 CRC = 0，并且无法检测到，这单个位错误不会发生，它将继续经历循环，其中 none 个包含值 0。如果周期为 n 个循环，则如果消息中的位 + CRC <= n。作为任何多项式乘积 (x + 1) 的所有 CRC 多项式都可以检测任何奇数位错误（因为 x + 1 本质上是添加偶数奇偶校验）。
将 CRC 多项式左移 z 位意味着每个代码字将具有 z 尾随零位。在某些情况下会这样做。假设您有一个快速的 32 位 CRC 算法。要将该算法用于 16 位 CRC，将 17 位 CRC 多项式左移 16 位，以便最低有效非零项为 x16。使用32位CRC算法计算后，将32位CRC右移16位得到16位CRC
我正在解决一些与基于 CRC 生成器的单位错误检测相关的问题，并试图分析哪些生成器检测单位错误，哪些不检测。
假设，如果我有一个 CRC 生成多项式作为 x4 + x2。现在我想知道它是否保证 检测到一位错误？
1) 如果误差多项式 xk 的 k=1,2,3，则余数将为 x,x2， x3 分别在多项式除以生成多项式 x4 + x2 和根据参考文献，如果生成器有多个项并且 x0 的系数为 1，则可以捕获所有单位错误。但它并没有说如果 x0 的系数不为 1 则无法检测到单位错误。意思是 "In a cyclic code , those e(x) errors that are divisible by g(x) are not caught."
2) 我必须检查 E(x)/g(x) 的余数，其中 E(x)（假设，它是 xk） 其中，k= 1,2,3,... 是误差多项式，g(x) 是生成多项式。如果余数为零，那么我无法检测到错误，当它不为零时，我就可以检测到它。
所以，根据我的说法，生成多项式 x4 +x2 保证了基于上述的单比特错误检测2 points.Please确认我说的对不对
if coefficient of x0 is not 1 then single bit error can't be detected?
如果x0的系数不为1，则相当于将CRC多项式左移1（或更多）位（乘以x的某个次方） .将 CRC 多项式左移 1 位或更多位不会影响它检测错误的能力，它只是将 1 位或更多零位附加到代码字的末尾。
generator polynomial x4 + x2 guarantees the detection of single-bit error
正确。 x4 + x2 是 x2 + 1 左移两位，x4 + x2 = (x2) (x2 + 1 ) = (x2) (x + 1) (x + 1) ，并且由于 x2 + 1 可以检测任何一位错误，那么 x4 + x2 也可以。同样对于 (x + 1) 项（其中两个），它添加了偶数奇偶校验并且可以检测任何奇数位错误。
一般来说，无论消息长度如何，所有 CRC 多项式都可以检测到一位错误。所有的 CRC 多项式都有一个 "cylic" 周期：如果您使用 CRC 多项式作为 Linear Feedback Shift Register 的基础，并且初始值为 000...0001，那么经过一些固定的循环次数后，它将循环回到 000...0001。 CRC 最简单的故障是出现 2 位错误，其中 2 位之间的距离等于循环周期。假设 8 位 CRC（9 位多项式）的周期为 255，那么 2 位错误，一个在位 [0]，一个在位 [255] 将导致 CRC = 0，并且无法检测到，这单个位错误不会发生，它将继续经历循环，其中 none 个包含值 0。如果周期为 n 个循环，则如果消息中的位 + CRC <= n。作为任何多项式乘积 (x + 1) 的所有 CRC 多项式都可以检测任何奇数位错误（因为 x + 1 本质上是添加偶数奇偶校验）。
将 CRC 多项式左移 z 位意味着每个代码字将具有 z 尾随零位。在某些情况下会这样做。假设您有一个快速的 32 位 CRC 算法。要将该算法用于 16 位 CRC，将 17 位 CRC 多项式左移 16 位，以便最低有效非零项为 x16。使用32位CRC算法计算后，将32位CRC右移16位得到16位CRC