如何将平流扩散反应 PDE 与 FiPy 耦合

Question

我尝试使用 Matlab 函数 Pdepe (https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/pdepe.html) 解决一维耦合 PDE 的平流-扩散-反应问题。与扩散项相比，在我的高平流项情况下，此功能无法正常工作。因此，我搜索并找到了使用 Python 库 FiPy 来求解我的 PDEs 系统的选项。我的初始条件是 u1=1 for 4*L/10

我的耦合方程式如下：

du1/dt = d/dx(D1 * du1/dx) + g * x * du1/dx - mu1 * u1 / (K + u1) * u2

du2/dt = d/dx(D2 * du2/dx) + g * x * du2/dx + mu2 * u1 / (K + u1) * u2

我试着结合FiPy例子写的(examples.convection.exponential1DSource.mesh1D, examples.levelSet.advection.mesh1D, examples.cahnHilliard.mesh2DCoupled).

以下几行不是一个工作示例，而是我第一次尝试编写代码。这是我第一次使用 FiPy（在文档的测试和示例之外），因此对于普通用户来说，这似乎完全没有抓住要点。

from fipy import *

g = 0.66
L = 10.
nx = 1000
mu1 = 1.
mu2 = 1.
K = 1.
D1 = 1.
D2 = 1.

mesh = Grid1D(dx=L / 1000, nx=nx)

x = mesh.cellCenters[0]
convCoeff = g*(x-L/2)

u10 = 4*L/10 < x < 6*L/10
u20 = 1.

u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=u10)
u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=u20)

## Neumann boundary conditions
u1.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesLeft)
u1.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesRight)
u2.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesLeft)
u2.faceGrad.constrain(0., where=mesh.facesRight)

sourceCoeff1 = -1*mu1*u1/(K+u1)*u2
sourceCoeff2 = 1*mu2*u1/(K+u1)*u2

eq11 = (TransientTerm(var=u1) == DiffusionTerm(coeff=D1, var=u1) + ConvectionTerm(coeff=convCoeff))
eq21 = (TransientTerm(var=u2) == DiffusionTerm(coeff=D2, var=u2) + ConvectionTerm(coeff=convCoeff))

eq12 = ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u1)
eq22 = ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u2)

eq1 = eq11 & eq12
eq2 = eq21 & eq22

eqn = eq1 & eq2
vi = Viewer((u1, u2))

for t in range(100):
    u1.updateOld()
    u2.updateOld()
    eqn.solve(dt=1.e-3)
    vi.plot()

感谢您的任何建议或更正。如果您碰巧知道针对此类特定问题的好的教程，我会很乐意阅读它，因为我没有找到比 FiPy 文档中的示例更好的东西。

Answer 1

几个问题：

python chained comparisons 在 numpy 中不起作用，因此在 FiPy 中不起作用。所以，写

u10 = (4*L/10 < x) & (x < 6*L/10)

此外，这使得 u10 成为布尔值的字段，这让 FiPy 感到困惑，所以写

u10 = ((4*L/10 < x) & (x < 6*L/10)) * 1.

或者，更好的是，写

u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=0., hasOld=True)
u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=1., hasOld=True)
u1.setValue(1., where=(4*L/10 < x) & (x < 6*L/10))

ConvectionTerm取向量系数。获得这个的一种方法是
```
convCoeff = g*(x-L/2) * [[1.]]
```
代表一维 rank-1 变量
如果你声明Variable一个Term适用于哪个，你必须对所有Term都这样做，所以写，例如，
```
ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1)
```
ConvectionTerm(coeff=g*x, var=u1) 不代表g * x * du1/dx。它表示 d(g * x * u1)/dx。所以，我相信你会想要
```
ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1) - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u1)
```

ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u1不代表 -1*mu1*u1/(K+u1)*u2，而是代表-1*mu1*u1/(K+u1)*u2*u1。所以，为了方程之间的最佳耦合，写

sourceCoeff1 = -mu1*u1/(K+u1)
sourceCoeff2 = mu2*u2/(K+u1)

... ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u2) ...
... ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u1) ...

正如@wd15 在评论中指出的那样，您为两个未知数声明了四个方程。 & 并不意味着 "add two equations together"（可以用 + 完成），而是意味着 "solve these two equations simultaneously"。所以，写

sourceCoeff1 = mu1*u1/(K+u1)
sourceCoeff2 = mu2*u2/(K+u1)

eq1 = (TransientTerm(var=u1) 
       == DiffusionTerm(coeff=D1, var=u1) 
       + ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u1) 
       - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u1) 
       - ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff1, var=u2))
eq2 = (TransientTerm(var=u2) 
       == DiffusionTerm(coeff=D2, var=u2) 
       + ConvectionTerm(coeff=convCoeff, var=u2) 
       - ImplicitSourceTerm(coeff=g, var=u2) 
       + ImplicitSourceTerm(coeff=sourceCoeff2, var=u1))

eqn = eq1 & eq2

为了调用updateOld()，必须用hasOld=True声明一个CellVariable，所以

u1 = CellVariable(name="u1", mesh=mesh, value=u10, hasOld=True)
u2 = CellVariable(name="u2", mesh=mesh, value=u20, hasOld=True)

似乎有效的完整代码是here

如何将平流扩散反应 PDE 与 FiPy 耦合

How to Couple Advection Diffusion Reaction PDEs with FiPy

python

pde

fipy