尝试在 MATLAB 中实现差异公式

Question

我正在尝试实现差异公式

f'(x) ≈ [ f(x+h) - f(x) ] / h

对 x=1 和 h=10^-k 使用 MATLAB，其中 k=0,...,16。此外，我想绘制错误。

下面是我的代码。我看到错误在 3 左右，我认为它太大了。它应该接近于 0。

syms f(x)
f(x) = tan(x);
df = diff(f,x);
x = 1;
for k = 0:16
    h = 10^-k;
    finitediff = double((f(x+h)-f(x))/h);
    err = double(abs(finitediff-df(x)));
end

Answer 1

你的代码没有问题，有限差分公式运行良好，你得到的错误在于计算以下数值的项目：

当a和b都非常非常小时计算a/b产生的错误。
计算 a-b 当 a 和 b 非常非常接近时 MATLAB 将给出 0.

这是k从1变为15时的结果：

感谢@CrisLuengo 富有洞察力的评论！

表明err瞬间下降到接近于零，当h变为1e-9时再次上升（情况1发生在这之后）。当h变为1e-14时，最终df变为0（这里出现情况2）。

我在你的代码中添加了几行代码来展示这一点：

clc;
clear;
format long
syms f(x)
f(x) = tan(x);
h=1;
df = diff(f,x);
double(df(1));
x=1;


range=1:15;
[finitediff,err]=deal(zeros(size(range)));
for k=range
    h=10^-k;
    finitediff(k)=double((f(x+h)-f(x))/h);
    err(k)=double(abs(finitediff(k)-df(1)));
end

figure(1)

subplot(1,2,1)
hold on
plot(err)
plot(err,'bx')
set(gca,'yscale','log')
title('err')

subplot(1,2,2)
hold on
ezplot(df)
axis([0.5 1.5 0 5])
plot(ones(size(range)),finitediff,'rx','MarkerSize',7)
for ii=range
  text(1,finitediff(ii),['h=1e-' num2str(ii)])
end

Answer 2

您正在计算 x+h 数值。对于 x=1，您可以生成的大于 x 的最小数字是 x+eps(x) = 1+eps(1)。 eps(1) 是 2.2204e-16。所以添加 h=1e-16 不会改变 x。现在，您正在象征性地计算 tan(1)-tan(1)，即 0。因此您对导数的有限差分近似为 0。

但即使 h 较大，您的差异也为 0。我认为这是因为计算切线时出现舍入误差。请注意

x = 1;
h = 1e-14;
f(x+h)

returnstan(1)。也就是说，符号工具箱认为 tan 函数上下文中的 1+1e-14 足够接近 1 以保证四舍五入。有趣的是，

f(x+h)-f(x)

returns 0，而

tan(x+h)-tan(x)

returns 3.4195e-14（接近预期的 3.4255e-14）。

请注意，正如您可以通过看出的那样，最好的近似值是 h=10^-8，随着您减少 h，x+h 中的舍入误差开始减少增加（使用 set(gca,'yscale','log') 来查看）。

尝试在 MATLAB 中实现差异公式

Trying to implement the difference formula in MATLAB

matlab

approximation

derivative

difference