在求解 2*2 实矩阵的特征向量时阐明机器 epsilon 的影响

Question

代码来自opencv中的函数eigen2x2。

对于具有以下形式的实数矩阵：

求解其特征值：

double u = (a + c)*0.5;
double v = std::sqrt((a - c)*(a - c)*0.25 + b*b);
double l1 = u + v; //the 1st eigenvalue
double l2 = u - v; // the 2nd eigenvalue

然后求解l1对应的特征向量，即求解如下系统：

eigen2x2中的代码如下：

        double x = b;
        double y = l1 - a;
        double e = fabs(x);

        if (e + fabs(y) < 1e-4)
        {
            y = b;
            x = l1 - c;
            e = fabs(x);
            if (e + fabs(y) < 1e-4)
            {
                e = 1. / (e + fabs(y) + FLT_EPSILON);
                x *= e, y *= e;
            }
        }

        double d = 1. / std::sqrt(x*x + y*y + DBL_EPSILON);
        double x1 = x*d; //I moderately changed variable name for simplicity.
        double x2 = y*d;   

其中x1和x2构成l1对应的特征向量。

问题

据我了解，当矩阵逼近零矩阵时，将执行以下代码：

        e = 1. / (e + fabs(y) + FLT_EPSILON);
        x *= e, y *= e;

那么它的作用是什么呢？是否允许踢出 FLT_EPSILON 和随后的 DBL_EPSILON？

Answer 1

它们的存在是为了防止除以零（或亚 epsilon 值）。相反，你会得到一个大的浮点数。

假设您的值大小适中，它应该对结果几乎没有影响；比其他舍入效果更小。

安全地删除它需要一些子集来编写大量的单元测试，找到记录的案例为什么最初添加它，或者在各种各样的实时代码中广泛使用，在这些代码中，不良行为是安全的（没有金钱声誉或生活在线）但很明显。单元测试需要覆盖一系列小的、零的、非规范化的值与中值和大值的混合，包括白盒逆向工程以在每个中间步骤生成所述值（安全起见）。

我会把它们留在里面；他们看起来无害。