内涵类型理论之上的定义和命题外延性是否等价？
Are definitional and propositional extenionality on top of intensional type theory equivalent?
我正在 n-lab 上阅读有关 extensional type theory 的文章，其中提到了两种使内涵类型理论具有外延性的方法。
- 定义：添加规则
p:Id(x,y) => x===y
- 命题：在类型论中添加以下内容之一
- 公理 UIP
- 公理 K
- 公理陈述
Id((a,b_1),(a,b_2)) => Id(b_1,b_2) 其中 (a,b_1) 和 (a,b_2) 都是依赖对
- 添加与原始 Agda 一样的无约束模式匹配
我的问题是这两种方式等价吗？
具体来说，如果可以，是否可以从公理 K 或 UIP 推导出 p:Id(x,y) => x===y？
n-lab 对类型理论是外延的含义的看法是相当奇特的。如果您最感兴趣的是 Id 类型是否可以单价扩展，那么这很有意义，如果您有 UIP，情况就不是这样了。
(1) 确实暗示 (2)（使用问题中的数字），因此它与单价不一致。
(1) 是更多传统来源与名称 "extensional type theory".
关联的规则
然而 (2) 并不意味着 (1)，因为像 Agda 这样的理论的 Id 类型的正则性将表明 Id 在空上下文中的任何证明都是自反性的，而(1) 暗示函数可扩展性。
我正在 n-lab 上阅读有关 extensional type theory 的文章，其中提到了两种使内涵类型理论具有外延性的方法。
- 定义：添加规则
p:Id(x,y) => x===y - 命题：在类型论中添加以下内容之一
- 公理 UIP
- 公理 K
- 公理陈述
Id((a,b_1),(a,b_2)) => Id(b_1,b_2)其中(a,b_1)和(a,b_2)都是依赖对 - 添加与原始 Agda 一样的无约束模式匹配
我的问题是这两种方式等价吗？
具体来说，如果可以，是否可以从公理 K 或 UIP 推导出 p:Id(x,y) => x===y？
n-lab 对类型理论是外延的含义的看法是相当奇特的。如果您最感兴趣的是 Id 类型是否可以单价扩展，那么这很有意义，如果您有 UIP，情况就不是这样了。
(1) 确实暗示 (2)（使用问题中的数字），因此它与单价不一致。
(1) 是更多传统来源与名称 "extensional type theory".
关联的规则然而 (2) 并不意味着 (1)，因为像 Agda 这样的理论的 Id 类型的正则性将表明 Id 在空上下文中的任何证明都是自反性的，而(1) 暗示函数可扩展性。