泛化 `Functor` class 成为 `MultiFunctor`？

Question

我正在向“Free Applicative Functors”学习。当然，我要问的问题有点偏离论文的主要思想，但仍然...

...在第 6 页上尝试将 Functor 概括为 MultiFunctor:

class Functor f ⇒ MultiFunctor f where
    fmap0 :: a → f a
    fmap1 :: (a → b) → f a → f b
    fmap1 = fmap
    fmap2 :: (a → b → c) → f a → f b → f c
    ...

我看不出这个定义从范畴论的角度是如何合理的：fmap2 似乎只是一个双函子，即定义在 product category 上的函子。根据定义，产品类别由所有可能的有序对象对给出，态射也是对，因此：fmap2 :: (a -> a', b -> b') -> (f a, f b) -> (f a', f b') 看起来和感觉更合适的签名。

我可以理解 (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c 选择背后的思考方式：这是采用已知 (a -> b) -> f a -> f b 签名并强制其使用二进制函数而不是一元函数的最明显方法.但是MultiFunctor（由上面的定义给出）实际上是范畴论所期望的bi-/multifunctor吗？

P.S。我很好奇的原因是似乎不能通过概括 Functor 达到 Applicative，尽管论文指出可以。

Answer 1

让我们从显而易见的开始：fmap0 是纯粹的。

这是你犯了一个错误：fmap2 是 liftA2。

(bimap 非常不同 - (a -> b) -> (c -> d) -> f a b -> f c d)

如果你回到 definition of Applicative，你会看到它有一个 (<*>) 的默认实现，即 liftA2 id，它允许你根据pure 和 liftA2 或 (<*>).

所以是的，class 等同于 Applicative。

Answer 2

我认为你所采取的范畴论角度是错误的。有一个 Bifunctor class（带有 (a -> b) -> (c -> d) -> f a c -> f b d 类型的映射），但这不是这个概括。如果对某些函数进行 uncurry，那么 fmap2 的签名如下所示：

fmap2 :: ((a,b) -> c) -> (f a, f b) -> f c

并且通过考虑 fmap2 id，我们看到我们正在实现的不是双函子而是笛卡尔函子（即笛卡尔类别之间的幺半群函子），fmap2 id :: (f a, f b) -> f (a,b) 是自然变换：

然后可以从这个 Multifunctor 概括中得到应用。只需将 pure 更改为 fmap0，将 (<*>) 更改为 fmap2 ($)。

泛化 `Functor` class 成为 `MultiFunctor`？

Generalization of the `Functor` class to become a `MultiFunctor`?

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