Coq中自然数后继的单射性
Injectivity of successor of natural numbers in Coq
我有点困惑 Coq 中定义在自然数上的后继函数的单射性是否是公理？ 根据 Wikipedia/Peano axioms, it is an axiom (7). When I look at Coq.Init.Peano 手册页我看到以下内容：
Definition eq_add_S n m (H: S n = S m): n = m := f_equal pred H.
Hint Immediate eq_add_S: core.
它看起来像一个公理（？）但令我困惑的是在该页面的顶部它说：
It states various lemmas and theorems about natural numbers, including Peano's axioms of arithmetic (in Coq, these are provable)
这句话是不是有点歧义？
你看到的命令实际上是证明S构造函数的内射性。更准确地说，它说后继函数是单射的，因为它有一个逆函数：前任函数 (pred)。 （在 Coq 中，公理一般用关键字 Axiom 引入。）
你似乎对我认为这个词的两个相关意义感到困惑 "axiom." 逻辑上更广泛的意义是 "starting point of reasoning"（Wikipedia). The narrower sense is that of an assertion that is taken for granted in a deductive system without further proof. In Peano arithmetic，Peano 公理是两个意义上的公理，因为它们是原始的。在 Coq、ZFC 集合论和其他系统中，它们可以从更基本的事实中得到证明。
我有点困惑 Coq 中定义在自然数上的后继函数的单射性是否是公理？ 根据 Wikipedia/Peano axioms, it is an axiom (7). When I look at Coq.Init.Peano 手册页我看到以下内容：
Definition eq_add_S n m (H: S n = S m): n = m := f_equal pred H.
Hint Immediate eq_add_S: core.
它看起来像一个公理（？）但令我困惑的是在该页面的顶部它说：
It states various lemmas and theorems about natural numbers, including Peano's axioms of arithmetic (in Coq, these are provable)
这句话是不是有点歧义？
你看到的命令实际上是证明S构造函数的内射性。更准确地说，它说后继函数是单射的，因为它有一个逆函数：前任函数 (pred)。 （在 Coq 中，公理一般用关键字 Axiom 引入。）
你似乎对我认为这个词的两个相关意义感到困惑 "axiom." 逻辑上更广泛的意义是 "starting point of reasoning"（Wikipedia). The narrower sense is that of an assertion that is taken for granted in a deductive system without further proof. In Peano arithmetic，Peano 公理是两个意义上的公理，因为它们是原始的。在 Coq、ZFC 集合论和其他系统中，它们可以从更基本的事实中得到证明。