如何生成具有特征值呈指数分布的相关矩阵的零均值高斯随机向量
how to generate a zero-mean Gaussian random vector ,which have correlation matrices whose eigenvalues are exponentially distributed
1.This 是论文 "Fast Generalized Eigenvector Tracking Based on the Power Method" 中的一道题。
2.The 作者写了 "We generate two zero-mean Gaussian random vectors ,which have correlation matrices A and B whose eigenvalues are exponentially distributed"。
3.But如何生成一个零均值高斯随机向量，它具有特征值呈指数分布的相关矩阵，这让我困惑了将近一个星期。
4.It 貌似只能用MATLAB中的randn来生成随机向量，
所以问题是如何确保特征值呈指数分布的相关矩阵同时?
令S为正定矩阵。因此 S 具有 Cholesky 分解 L.L' = S，其中 L 是下三角矩阵，' 表示矩阵转置，. 表示矩阵乘法。设 x 取自均值为零且协方差等于单位矩阵的高斯分布。那么 y = L.x 服从均值为零且协方差为 S.
的高斯分布
所以如果你能找到合适的协方差矩阵A和B，你可以使用它们的Cholesky分解来生成样本。现在关于构造一个具有服从给定分布的特征值的矩阵。我的建议是从指数分布的样本列表开始；这些将是你的特征值。令 E = 一个矩阵，其对角线为指数样本，否则为零。令 U 为任何酉矩阵（即列是正交的，每列的范数为 1）。则 U.E.U' 是具有指定特征值的正定矩阵。
U 可以是任意酉矩阵。特别是 U 可以是单位矩阵。这可能会使其他一切变得更简单；您必须验证 U = identity 是否适用于您正在处理的问题。
1.This 是论文 "Fast Generalized Eigenvector Tracking Based on the Power Method" 中的一道题。
2.The 作者写了 "We generate two zero-mean Gaussian random vectors ,which have correlation matrices A and B whose eigenvalues are exponentially distributed"。
3.But如何生成一个零均值高斯随机向量，它具有特征值呈指数分布的相关矩阵，这让我困惑了将近一个星期。
4.It 貌似只能用MATLAB中的randn来生成随机向量， 所以问题是如何确保特征值呈指数分布的相关矩阵同时?
令S为正定矩阵。因此 S 具有 Cholesky 分解 L.L' = S，其中 L 是下三角矩阵，' 表示矩阵转置，. 表示矩阵乘法。设 x 取自均值为零且协方差等于单位矩阵的高斯分布。那么 y = L.x 服从均值为零且协方差为 S.
所以如果你能找到合适的协方差矩阵A和B，你可以使用它们的Cholesky分解来生成样本。现在关于构造一个具有服从给定分布的特征值的矩阵。我的建议是从指数分布的样本列表开始；这些将是你的特征值。令 E = 一个矩阵，其对角线为指数样本，否则为零。令 U 为任何酉矩阵（即列是正交的，每列的范数为 1）。则 U.E.U' 是具有指定特征值的正定矩阵。
U 可以是任意酉矩阵。特别是 U 可以是单位矩阵。这可能会使其他一切变得更简单；您必须验证 U = identity 是否适用于您正在处理的问题。