找到指数求和的解

Question

我正在尝试对 Python 中的这个方程进行数值求解（numpy/scipy，一切都可用）

$K - \sum_E f(E) e^{-(g(E) \cdot x)} = 0$

这个公式中K是常数，f和g是两个项取决于 E 计数器（这是积分的离散表示），其中 x 是我正在寻找的变量。

例如，E 是 3 个术语：

$K - [f(1) e^{-g(1)\cdot x} ] - [f(2) e^{-g(2)\cdot x} ] - [f(3) e^{-g(3)\cdot x} ] =0$

也知道 f(E) 和 g(E)。

我从 numpy 中读到了有关使用 "fsolve" 的信息，尽管我不明白如何自动生成作为项求和的函数。我可能会手动完成，但需要一段时间的 50 个术语，我也很想学习一些新东西。

Answer 1

您可以使用 scipy.optimize.fsolve where the function is constructed using numpy.sum:

import numpy as np
import scipy.optimize

np.random.seed(123)

f = np.random.uniform(size=50)
g = np.random.uniform(size=f.size)
K = np.sum(f * np.exp(-g*np.pi))

def func(x, f, g, K):
    return np.sum(f * np.exp(-g*x), axis=0) - K

# The argument to the function is an array itself,
# so we need to introduce extra dimensions for f, g.
res = scipy.optimize.fsolve(func, x0=1, args=(f[:, None], g[:, None], K))

请注意，对于您的特定函数，您还可以通过提供函数的导数来辅助算法：

def derivative(x, f, g, K):
    return np.sum(-g*f * np.exp(-g*x), axis=0)

res = scipy.optimize.fsolve(func, fprime=derivative,
                            x0=1, args=(f[:, None], g[:, None], K))

寻找多个根

您可以在函数接受 N 个输入（例如每一行）并产生 N 个输出（每行一个）的意义上对过程进行向量化。因此输入和输出相互独立，相应的雅可比矩阵是对角矩阵。这是一些示例代码：

import numpy as np
import scipy.optimize

np.random.seed(123)

image = np.random.uniform(size=(4000, 3000, 2))
f, g = image[:, :, 0], image[:, :, 1]
x_original = np.random.uniform(size=image.shape[0])  # Compute for each of the rows.
K = np.sum(f * np.exp(-g * x_original[:, None]), axis=1)

def func(x, f, g, K):
    return np.sum(f * np.exp(-g*x[:, None]), axis=1) - K

def derivative(x, f, g, K):
    return np.diag(np.sum(-g*f * np.exp(-g*x[:, None]), axis=1))

res = scipy.optimize.fsolve(func, fprime=derivative,
                            x0=0.5*np.ones(x_original.shape), args=(f, g, K))
assert np.allclose(res, x_original)

找到指数求和的解

Finding the solution of a summation of exponentials

python

python-2.7

numpy

numerical-methods

寻找多个根