Haskell Eratosthenes 筛法和复合物列表

Question

我要为一个项目实现Haskell中埃拉托色尼筛法的经典问题。我不必计算每个素数，而只需比较列表之间的数字。例如，我传递了一个潜在素数列表（参数 1）和一个复合素数列表（列表 2）。 sieve [2..10] [] 结果与列表 [2,3,5,7].

我认为我非常接近并且它编译了，但是它将每个项目附加到主要列表而不是丢弃组合。我的想法是，它将采用所有数字 2..10 或其他任何数字的列表 x 和复合材料的列表 y 使用 elem 来查看列表 x 的头部是否在列表 y 中找到，如果是，则追加到列出 z 并打印。提前致谢！

目前我的代码 returns 第一个列表中的所有内容并且拒绝排序。 sieve [2..10] [] 结果为 [2,3,4,5,6,7,8,9,10]

sieve ::[Int]->[Int]->[Int]
z = []
sieve [] [] = []
sieve x [] = x
sieve [] y = y
sieve xs ys = if ((elem (head xs)) ys) then (sieve (tail xs) ys)
    else ((head xs):z)

Answer 1

你显示的程序没有多大意义，首先 sieve x [] 将始终被使用，此外你应该检查一个元素是否可以被另一个列表整除。最后你应该使调用递归，这是你不使用 head xs : z 做的事情，因为 z 被定义为空列表。

让我们从基本情况开始：如果左边的列表是空的，不管第二个列表的内容如何，一个returns空列表。因为什么都不筛选就什么也得不到：

sieve [] _ = []

接下来我们寻找归纳案例，其模式为：

sieve (x:xs) ds = ...

现在我们需要枚举已找到元素的列表。从找到的元素any可以整除x的那一刻起，我们就知道这个数不是（相对）素数。此条件形式化为：

(==) 0 . mod x :: Integral b => b -> Bool

或遍历 ds 的列表：

any ((==) 0 . mod x) ds

如果存在这样的元素，我们就直接跳过这个元素，调用sieve xs ds的归纳情况。

如果没有这样的元素，我们将它添加到 ds 的列表中并发出它。结果是：x : sieve xs (x:ds)。因此，归纳情况是：

sieve (x:xs) ds | any ((==) 0 . mod x) ds = sieve xs ds
                | otherwise = x : sieve xs (x:ds)

我们可以通过为 sieve xs:

创建一个特定的变量来缩短它

sieve (x:xs) ds | any ((==) 0 . mod x) ds = rec ds
                | otherwise = x : rec (x:ds)
                where rec = sieve xs

完整的函数是：

sieve [] _ = []
sieve (x:xs) ds | any ((==) 0 . mod x) ds = rec ds
                | otherwise = x : rec (x:ds)
                where rec = sieve xs

您可以通过两种方式提高性能：

在ds的末尾添加x。这确实是一个更昂贵的操作。但是一段时间后，您不会经常添加数字。这很有趣，因为在那种情况下 ys 看起来像 [2,3,5,7,11] 而不是 [11,7,5,3,2]。现在，一个数被 2 整除的几率 (50%) 大于一个数被 11 整除的几率 (9.9%)。最好先尝试最有可能成功的测试。
此外，您可以在除数达到要测试的数字的平方根后结束检查：如果一个数字不能被小于该数字的数字整除，则肯定不是能被大于平方根的数整除。

一种更有效的方法是：

sieve [] _ = []
sieve (x:xs) ds | any ((==) 0 . mod x) $ takeWhile (\y -> y*y <= x) ds = rec ds
                | otherwise = x : rec (ds++[x])
                where rec = sieve xs

Answer 2

你所说的sieve通常被称为minus，从第一个列表中减去第二个列表，假设两者都是有序的，增加数字列表.那么只比较两个 head 元素就足够了，不需要任何 elem 调用。

但如果您为 z 提供了正确的定义，它仍然可以工作。 z=[] 只是一个占位符，让它编译（对吧？）；这不是正确的定义。应该是：

sieve :: [Int] -> [Int] -> [Int]
-- z = []
sieve [] [] = []
sieve x [] = x
sieve [] y = y
sieve xs ys = if ((elem (head xs)) ys) then (sieve (tail xs) z)
    else ((head xs) : sieve (tail xs) ys )
      where
         z = ... -- need to remove (head xs) from ys

对于最后一条评论的任务，您可以使用例如delete 函数。

如果没有复合列表，这仍然不会为您生成素数列表，因此初始调用可以不会第二个列表为空（否则，您由于 sieve x [] = x 等式，d 得到与您相同的第一个参数：

primesAmong input = sieve input composites

但是 composites 是什么？ Eratosthenes 的回答是，为什么，它们是质数的倍数！（试验部门说：复合物有其他质数作为它们的约数）。

给定一个质数，比如 2，我们只数：2,4,6,...;对于 3，比如说，它是 3,6,9,12,...；求它的倍数。让我们记下来：

composites = mutliplesOf primes
mutliplesOf primes = [ mult | p <- primes, mult <- [...] ]

这不太合适：这个 multiplesOf 需要一个参数：

primes = primesAmong input
primesAmong input = sieve input (mutliplesOf primes)

我们好像在追自己的尾巴；我们还没有 primes；我们可以用什么代替？求 non-primes 的倍数和质数有什么坏处吗？

当你有了运行代码后，还是想办法使用primes。

Haskell Eratosthenes 筛法和复合物列表

Haskell Sieve of Eratosthenes with list of composites

primes

haskell

list

sieve-of-eratosthenes