给定 A∧B 仅使用 → 和 ⊕(Xor) 的等价物是什么

Question

考虑仅由 → 和 ⊕ 组成的一组连接词，其中 ⊕ 是异或连接词：A⊕B 为真当且仅当 A 和 B 具有相反的真值（一个为真，另一个为真）假）。

给定 A∧B 仅使用 → 和 ⊕(Xor) 的等价公式是什么。

Answer 1

假设 -> 是 the material conditional。

A and B is equivalent to not(A implies not B)

not C is equivalent to (C implies C) xor C

所以

not B is equivalent to (B implies B) xor B)

和

A implies not B  equivalent to A implies ((B implies B) xor B))

最后等价的表达式是

((A implies ((B implies B) xor B)) implies (A implies ((B implies B) xor B)))xor (A implies ((B implies B) xor B)) 

在你的符号中：

((A → ((B → B) ⊕ B)) → (A → ((B → B) ⊕ B)))⊕ (A → ((B → B) ⊕ B)) 

只要小心，您肯定可以最小化这些公式

检查最终公式on wolfram alpha

回答此类问题的一般框架是 functional completness。 mathoverflow 的人员可能会有所帮助。

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我把长公式抄得一团糟，现在更正