将显式欧拉转换为隐式欧拉（通过 fixed-point 迭代）

Question

所以我有一个学校任务，我需要计算道路上一堆汽车的位置（也就是排队行驶，所以如果 10 号车 [排在第一位的汽车] 刹车, 然后 9 车刹车，当 9 车刹车时，8 车必须刹车等）。

每辆车都遵循“三秒规则”（除了排在第一位的那辆车，他可以开到他想开的最快的速度，其他所有排在队伍中的车都相应地调整速度）。每辆车的速度由表达式表示：

其中'i'是车的索引，'t'是时间点（索引最高的车是排在第一位的车），函数'f' 由以下代码表示：

% Input x: Distance to the car in front (of you. NOT the car that is at the
% very front of the line).
% Output: Car velocity
function output = carFunc(x)
    if (x >= 75)
        output = 25;
    else
        output = x/3;
    end
end

最前面的车只是匀速'g':

无论如何，现在您知道了任务的上下文，让我们真正地转到任务本身。这个学校任务包含多个步骤，第一步是使用 forward/explicit Euler 计算每辆车随时间的位置，我已经完成了。这是相关代码：

% Euler's Method
% Initial conditions and setup
g = 25; % Velocity of car M (the car that is first in line, ahead of all others) [m/s]
h = 0.01;  % step size
M = 10; % Number of cars
x = 0:h:40;  % the range of x (time)
n = numel(x);  % the number of timesteps
posMat = zeros(M,n); % Matrix that holds positions of each car (car = row, time = column)
for i=1:M
    posMat(i,1) = 10*i;  % the initial positions for the cars
end
for t=1:(n-1)
    % Calculate position of all cars EXCEPT car M (using the first
    % equation)
    for c=1:(M-1)
    f = carFunc(posMat(c+1,t) - posMat(c,t)); % Velocity of car 'c'
    posMat(c,t+1) = posMat(c,t) + h * f; % Explicit Euler
    end
    % Calculate positon of last car M (first car in line) here:
    % x_M^(n+1) = x_M^n + h*g
    posMat(M,t+1) = posMat(M,t) + h*g;
end

然而问题（我被卡住的地方）是第二步，我现在需要在第一步中修改我的代码以通过 fixed-point 迭代使用 backwards/implicit 欧拉. 我已经编写了一个函数来执行 fixed-point 迭代，但除此之外我真的不知道该做什么。这是我的 fixed-point 迭代代码：

%Fixed-Point Iteration
%Computes approximate solution of g(x)=x
%Input: function handle g, starting guess x0,
% number of iteration steps k
%Output: Approximate solution

function out=fpi(g, x0, k)
    x = zeros(1, k+1);
    x(1)=x0;
        for i=1:k
            x(i+1)=g(x(i));
        end
    out=x(k+1);
end

感谢任何帮助。抱歉，文字很长。我的 post 的顶部主要只是任务背后上下文的“简短”摘要。这不是绝对必要的（而且这不是这里的重点）但是我还是添加了它所以你们知道我的代码中发生了什么。

谢谢！

Answer 1

这里的问题是您为标量编写了不动点迭代，但是您有一个系统微分方程。如果我们以矢量形式重写系统，它会变得更加清晰。我添加了一条评论，说明显式和隐式方程式看起来如何，这样它们实际上具有与您可以在 texbook 中找到的相同的标准形式 y(t+1) = y(t) + h * f(y(t),t)（resp. y(t+1) = y(t) + h * f(y(t+1),t+1)）。然后你可以轻松记下更新：

% Euler's Method
% Initial conditions and setup
g = 25; % Velocity of car M (the car that is first in line, ahead of all others) [m/s]
h = 0.01;  % step size
M = 10; % Number of cars
x = 0:h:40;  % the range of x (time)
n = numel(x);  % the number of timesteps
posMat = zeros(M,n); % Matrix that holds positions of each car (car = row, time = column)
k = 20; % number of fixed point iterations
explicit = true;
for i=1:M
    posMat(i,1) = 10*i;  % the initial positions for the cars
end

for t=1:n-1 
    % Calculate position of all cars EXCEPT car M (using the first
    % equation)
    c=1:M-1;
    if explicit
        f = [carFunc(posMat(c+1,t) - posMat(c,t)); g]; % Velocity of car 'c'
        posMat(:,t+1) = posMat(:,t) + h * f; % Explicit Euler
    else 
        %explicit euler:
        %posMat(:,t+1) = posMat(:,t) + h * [carFunc(posMat(c+1,t) - posMat(c,t)); g];
        %implicit euler: (needs to be solved)
        %posMat(:,t+1) = posMat(:,t) + h * [carFunc(posMat(c+1,t+1) - posMat(c,t+1)); g];

        %fixed point iteration:
        posMat(:,t+1) = posMat(:,t); % initialization
        for m=1:k
            posMat(:,t+1) = posMat(:,t) + h * [carFunc(posMat(c+1,t+1) - posMat(c,t+1)); g]; 
        end
    end
end
plot(posMat');


% Input x: Distance to the car in front (of you. NOT the car that is at the
% very front of the line).
% Output: Car velocity
function output = carFunc(x)
    mask = x >= 75;
    output = zeros(size(x));
    output(mask) = 25;
    output(~mask) = x(~mask)/3;
end

将显式欧拉转换为隐式欧拉（通过 fixed-point 迭代）

Converting explicit euler to implicit euler (via fixed-point iteration)

matlab

fixed-point-iteration