我如何使用 ODE45 求解这个由 5 个方程组成的系统（涉及代数方程）？

Question

我是一个经验丰富的 Matlab 程序员，但我不知道如何解决这个（看似）简单的问题。我有一个包含 5 个方程和 5 个未知数的系统：

我知道如何在 不涉及代数方程 的情况下使用 ode45 求解 ODE。在上面的系统中，V（速度）和C（加速度）都是常数且已知。 C为航天器横向加速度

该问题应按如下方式解决：

在 t=0 时，我们知道 Theta(0)、x(0) 和 y(0)。请记住，V 和 C 都是常数且已知。
给定 Theta(0) 和 C/V，我们得到 Theta(t1) 积分第四个方程。有了 Theta 的这个新值，我们应该能够计算出新的 Vx(t1) 和 Vy(t1)，这将为我们提供 x(t1) 和 y(t2) 的新值。
重复

使用 Matlab 的 ODE45 解决问题很重要，因为当我添加风、变化的重力和密度、航天器质量和几何形状（以及惯性等！）时，它最终会变得非常难以解决。所以我会得到一个由几十个方程组成的系统，它们都会耦合在一起。如果我知道如何在 Matlab 中解决这个简单的问题，我将了解如何在未来解决更复杂的问题。

我已经在网上搜索过以寻求帮助，但没有成功。非常感谢您的帮助。

Answer 1

在我看来，你的系统是未定的，因为 y_1 不受你的方程式的约束，但它必须是正数。至于系统的其余部分，它实际上是解耦的。以下是我的做法：

1) 第一个等式意味着 y_1 是正数。考虑到这一点，如果您在第一个等式中替换 y_2 和 y_3，您将获得恒等式 y_1=y_1。所以这个点 y_1 可以是时间的任何函数，只受制于在 t=0 时它满足初始条件的约束。在下文中，我将假设它是时间常数。

2) 有了这个规定，C/y_1 是一个任意常数，我们称它为 B，由此得出 y_4= Bt + y0_4, y0_4是积分常数。

3) 将y_2代入第5个等式，y_3代入第6个等式。现在您有两个具有时间相关 r.h.s 的 ODE。这些方程足够简单，可以解析求解。例如，最后一个等式给出 y_6=-y_1/B cos(Bt+y0_4)+y0_6。

更一般地说，假设您遇到的问题不是欠约束的。然后，您总能及时对代数方程进行微分，得到耦合的 ODE 系统。

作为最后的评论，我想说的是，在急于使用 Matlab（或 Python、R 或 C++，...）之前，用纸来解决问题总是一件好事和pencil看能不能简化，或者像上面的情况一样，能不能解决。

Answer 2

使用更正后的系统，您只有 3 个状态变量需要集成

function dotu = f(t,u)
    theta = y(1); 
    dotu = [ C/V, -V*cos(theta), V*sin(theta) ];
end

然后您可以直接将其插入求解器

[ T,U ] = ode45(f, [t0, tf], [ theta0, x0, y0])

为初始条件和积分结束使用适当的值。

我如何使用 ODE45 求解这个由 5 个方程组成的系统（涉及代数方程）？

How may I solve this system of 5 equations using ODE45 (algebraic equations involved)?

matlab

ode

ode45