Eigen：获取稀疏矩阵的核

Question

给定一个稀疏矩阵 A 和一个向量 b，我想获得方程 A * x = b 的解 x 以及 A.

一种可能性是 convert A 到密集表示。

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/SparseQR>

int main()
{
    // This is a toy problem. My actual matrix
    // is of course bigger and sparser.
    Eigen::SparseMatrix<double> A(2,2);
    A.insert(0,0) = 1;
    A.insert(0,1) = 2;
    A.insert(1,0) = 4;
    A.insert(1,1) = 8;
    A.makeCompressed();

    Eigen::Vector2d b;
    b << 3, 12;

    Eigen::SparseQR<Eigen::SparseMatrix<double>,
                    Eigen::COLAMDOrdering<int> > solver;
    solver.compute(A);
    std::cout << "Solution:\n" << solver.solve(b) << std::endl;

    Eigen::Matrix2d A_dense(A);
    std::cout << "Kernel:\n" << A_dense.fullPivLu().kernel() << std::endl;
    return 0;
}

是否可以直接在稀疏表示中做同样的事情？除了 FullPivLu.

之外，我在任何地方都找不到函数 kernel()

Answer 1

我认为@chtz 的回答几乎是正确的，除了我们需要获取最后的 A.cols() - qr.rank() 列。这是一个数学推导。

假设我们对矩阵 Aᵀ 进行 QR 分解为

Aᵀ * P = [Q₁ Q₂] * [R; 0] = Q₁ * R

其中 P 是置换矩阵，因此

Aᵀ = Q₁ * R * P⁻¹.

我们可以看到Range(Aᵀ) = Range(Q₁ * R * P⁻¹) = Range(Q₁)（因为P和R都是可逆的）。

由于 Aᵀ 和 Q₁ 具有相同的范围 space，这意味着 A 和 Q₁ᵀ 也将具有相同的空值 space，即 Null(A) = Null(Q₁ᵀ)。（这里我们使用属性表示 Range(M) 和 Null(Mᵀ) 对于任何矩阵 M 互为补充，因此 Null(A) = complement(Range(Aᵀ)) = complement(范围(Q₁)) = Null(Q₁ᵀ)).

另一方面，由于矩阵[Q₁ Q₂]是正交矩阵，Null(Q₁ᵀ) = Range(Q₂)，因此Null(A) = Range(Q₂)，即kernal(A) = Q₂。

由于 Q2 是正确的 A.cols() - qr.rank() 列，您可以调用 rightCols(A.cols() - qr.rank()) 来检索 A.

的内核

关于内核的更多信息space，您可以参考https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(linear_algebra)

Eigen：获取稀疏矩阵的核

Eigen: Obtain the kernel of a sparse matrix

c++

linear-algebra

sparse-matrix

eigen