求解线性方程组

Question

我正在研究使用有限元法来计算通过元件的热流。我目前正在解决一个方程组，其中等式两边都有变量。一个简单的例子可能是这样的

| 1  -1   0|   |100 |   |q1|   
|-1   2  -1| . | T2 | = |0 |   
| 0  -1   1|   | 0  |   |q3|

我正在考虑使用的方法会将矩阵缩小为 2x2，因为温度 "T1" 已知，并相应地更改右侧。并继续在 "T3" 的行中执行相同的操作。但是我的辅导员一直建议我反对这个。

你会如何解决这样的系统？

Answer 1

我会写下你的线性方程并重塑它，这样你只有一个带有未知变量的向量。例如，上面的方程式系统等于：

$q1$

$q2$

$q3$

可重写：

$q1$

$q2$

$q3$

产生：

| -1  -1   0|   | T2 |   | 100 |   
|  2   0   0| . | q1 | = | 100 |   
| -1   0  -1|   | q3 |   |  0  |

Answer 2

另一种方法是创建一个置换矩阵以从向量中提取已知和未知行。这种方法有点复杂，但对程序员更友好：

说出你的情商。系统是：

K . T = Q

其中 K 是 3x3，T 和 Q 是 3x1 向量。您可以创建一个置换 Pf 矩阵，当它乘以 T 时，结果是 T 矩阵的未知部分（仅 T2），在您的情况下，置换矩阵将是一个 1x3 矩阵：

Pf = [0 1 0]

                       |100|
Tf = Pf * T = [0 1 0]* |T2 | = [T2]
                       |0  |

另一个置换矩阵将从 T 矩阵中获取已知部分，在您的情况下它将是 2x3 矩阵：

     | 1 0 0|
Ps = | 0 0 1| 

Ts =  Ps * T = | 1 0 0|  |100|   |100|
               | 0 0 1| *| T2| = |0  |
                         |0  |

现在一切就绪，你可以假设系统是这样的：

K . T = Q

K = |Kff Kfs|
    |Kfs Kss|

Q = |Qf|
    |Qs|

T = |Tf|
    |Ts|

其中 f 是未知右侧的前缀，s 前缀是已知右侧的前缀。您可以找到 Pf、Ps、Qf、Qs、Kff、Kfs、Ksf 和 Kss像这样：

Tf = Pf * T
Tq = Ps * T

Qf = Pf * Q
Qq = Ps * Q

Kff = pf * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kfs = pf * K * ps` (note: ` denotes the transpose)
Ksf = ps * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kss = ps * K * ps` (note: ` denotes the transpose)

现在需要找到未知向量 Tf 和 Qs：

K . T = Q

|Kff Kfs| |Tf| = |Qf|
|Kfs Kss| |Ts|   |Qs|

表示：

Kff * Tf + Kfs * Ts = Qf
Kfs * Tf + Kss * Ts = Qs

来自第一个：

Tf = Kff^-1 * (Qf - Kfs * Ts)

用上式可以求出Tf（注意右边都是已知的矩阵和向量，所以需要进行数值运算）

从第二个开始：

Qs = Kfs * Tf + Kss * Ts

这样 Qs 和 Tf 都找到了。一旦你找到 Tf 和 Qs，你可以这样做来形成原始的 T 和 Q 矩阵：

Q = Ps` * Qs + Pf` * Qf
T = Ps` * Ts + Pf` * Tf

求解线性方程组

Solving a linear system of equations

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