如何证明 (x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y>=6 当 x,y,z>0

Question

这个问题实际上有两个部分。在第一部分我必须证明a + 1/a >=2。我通过将它重新排列为 (a-1)^2 >= 0 证明了这一点，这总是正确的。

所以，我认为第二个问题需要类似的方法。

(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y >=6, where x,y,z>0

但我想不通。我尝试过简化它并将其分解为想法，但我一无所获。

Answer 1

一旦你知道 a + 1/a >= 2，第二部分就很简单了。定义：

a := x/z,  b := y/z,  c := y/x

现在

(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y = x/z + y/z + y/x + z/x + x/y + z/y
                            = a + b + c + 1/a + 1/c + 1/b
                           >= 2 + 2 + 2
                            = 6

如何证明 (x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y>=6 当 x,y,z>0

How to prove (x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y>=6 when x,y,z>0

proof