根据（进一步）证明证明类型相等

Question

假设我们想在 Nat 上有一个 "proper" minus，需要 m <= n 使 n `minus` m 有意义：

%hide minus

minus : (n, m : Nat) -> { auto prf : m `LTE` n } -> Nat
minus { prf = LTEZero } n Z = n
minus { prf = LTESucc prevPrf } (S n) (S m) = minus n m

现在让我们尝试证明以下引理，说明 (n + (1 + m)) - k = ((1 + n) + m) - k，假设双方都有效：

minusPlusTossS : (n, m, k : Nat) ->
                 { auto prf1 : k `LTE` n + S m } ->
                 { auto prf2 : k `LTE` S n + m } ->
                 minus (n + S m) k = minus (S n + m) k

目标表明以下子引理可能有所帮助：

plusTossS : (n, m : Nat) -> n + S m = S n + m
plusTossS Z m = Refl
plusTossS (S n) m = cong $ plusTossS n m

所以我们尝试使用它：

minusPlusTossS n m k =
  let tossPrf = plusTossS n m
  in rewrite tossPrf in ?rhs

这里我们失败了：

When checking right hand side of minusPlusTossS with expected type
        minus (n + S m) k = minus (S n + m) k

When checking argument prf to function Main.minus:
        Type mismatch between
                LTE k (S n + m) (Type of prf2)
        and
                LTE k replaced (Expected type)

        Specifically:
                Type mismatch between
                        S (plus n m)
                and
                        replaced

如果我对这个错误的理解是正确的，那只是意味着它试图将目标相等性（即minus { prf = prf2 } (S n + m) k）的RHS 重写为minus { prf = prf2 } (n + S m) k，但失败了。当然，这是正确的，因为 prf 是另一个不等式的证明！虽然 replace 可用于生成 (S n + m) k 的证明（或者 prf1 也可以），但看起来不可能同时重写和更改证明对象以便它匹配重写。

我该如何解决这个问题？或者，更一般地说，我如何证明这个引理？

Answer 1

好的，我想我已经解决了。底线：如果您不知道该怎么做，请做一个引理！

所以我们有两个被减数 n1, n2 相等的证明，我们需要提供 n1 `minus` m = n2 `minus` m 的证明。让我们把它写下来！

minusReflLeft : { n1, n2, m : Nat } -> (prf : n1 = n2) -> (prf_n1 : m `LTE` n1) -> (prf_n2 : m `LTE` n2) -> n1 `minus` m = n2 `minus` m
minusReflLeft Refl LTEZero LTEZero = Refl
minusReflLeft Refl (LTESucc prev1) (LTESucc prev2) = minusReflLeft Refl prev1 prev2

我什至不需要plusTossS了，可以用更直接适用的引理代替：

plusRightS : (n, m : Nat) -> n + S m = S (n + m)
plusRightS Z m = Refl
plusRightS (S n) m = cong $ plusRightS n m

之后，原来的就变得微不足道了：

minusPlusTossS : (n, m, k : Nat) ->
                 { auto prf1 : k `LTE` n + S m } ->
                 { auto prf2 : k `LTE` S n + m } ->
                 minus (n + S m) k = minus (S n + m) k
minusPlusTossS {prf1} {prf2} n m k = minusReflLeft (plusRightS n m) prf1 prf2

根据（进一步）证明证明类型相等

Proving equality of types depending on (further) proofs

dependent-type

idris