Monte Carlo 在边界点 a 和 b 内积分的 Fortan 代码

Question

我了解Monte carlo模拟是通过绘制随机点并计算曲线内外点之间的比率来估计面积。

假设曲线半径为1，我已经很好地计算了pi的值。

这是代码

program pi
implicit none

integer :: count, n, i
real :: r, x, y
count = 0
n=500
CALL RANDOM_SEED
DO i = 1, n
 CALL RANDOM_NUMBER(x)
 CALL RANDOM_NUMBER(y)
 IF (x*x + y*Y <1.0) count = count + 1
END DO
r = 4 * REAL(count)/n
print *, r
end program pi

但是要找到整合，教科书说要应用相同的想法。但是如果我想找到

的集成，我不知道如何编写代码

f(x)=sqrt(1+x**2) over a = 1 and b = 5

在半径为一之前，我确实假设点落入条件 x*2+y**2 但我如何解决上面的问题？

任何帮助都非常有帮助

Answer 1

我先写代码再解释：

Program integral
implicit none
real f
integer, parameter:: a=1, b=5, Nmc=10000000   !a the lower bound, b the upper bound, Nmc the size of the sampling (the higher, the more accurate the result)
real:: x, SUM=0

do i=1,Nmc                  !Starting MC sampling
  call RANDOM_NUMBER(x)     !generating random number x in range [0,1]
  x=a+x*(b-a)               !converting x to be in range [a,b]
  SUM=SUM+f(x)              !summing all values of f(x). EDIT: SUM is also an instrinsic function in Fortran so don't call your variable this, I named it so, to illustrate its purpose
enddo

print*, (b-a)*(SUM/Nmc)     !final result of your integral
end program integral

function f(x)           !defining your function
  implicit none
  real, intent(in):: x
  real:: f

  f=sqrt(1+x**2)
end function f

那么发生了什么：

积分 $integ$ 可以写成 $integ2$ 。其中：

$g(x)$

（这个g(x)是变量x在[a,b]中的均匀概率分布）。我们可以将积分写为：

$inter3$

其中 $this$ .

所以，最后，我们得到积分应该是：

$final$

因此，您所要做的就是在 [a,b] 范围内生成一个随机数，然后为这个 x 计算您的函数值。然后重复多次（Nmc 次），计算总和。然后除以 Nmc，求平均值，然后乘以 (b-a)。这就是代码的作用。

互联网上有很多这方面的资料。 here's 一个非常形象化的例子

编辑：第二种方式，与 Pi 方法相同：

Nin=0                    !Number of points inside the function (under the curve)
do i=1,Nmc
  call random_number(x)
  call random_number(y)
  x=a+x*(b-a)
  y=f_min+y(f_max-f_min)
  if (f(x)<y) Nin=Nin+1
enddo
print*, (f_max-f_min)*(b-a)*(real(Nin)/Nmc)

所有这些，然后你可以将它包含在一个外部 do 循环中，总结 (f_max-f_min)(b-a)(real(Nin)/Nmc) 和最后打印其平均值。对于此示例，您所做的实际上是创建一个从 a 到 b（x 维度）和从 f_min 到 f_max（y 维度）的封闭框，然后对该区域内的点进行采样并计数函数 (Nin) 中的点。显然，您必须知道函数在 [a,b] 范围内的最小值 (f_min) 和最大值 (f_max)。或者你可以为你的 f_min f_max 任意使用 low/high 值，但那样你会浪费很多点，你的错误会更大。

Monte Carlo 在边界点 a 和 b 内积分的 Fortan 代码

Fortan code for Monte Carlo Integration within boundary point a and b

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