为什么 uint64_t 不能正确显示 pow(2, 64) - 1？

Question

我想了解为什么 uint64_t 类型无法正确显示 pow(2,64)-1。 cplusplus标准是199711L.

我检查了C++98标准下的pow()函数

double pow (double base     , double exponent);
float pow (float base      , float exponent);
long double pow (long double base, long double exponent);
double pow (double base     , int exponent);
long double pow (long double base, int exponent);

所以我写了下面的片段

double max1 = (pow(2, 64) - 1);
cout << max1 << endl;

uint64_t max2 = (pow(2, 64) - 1);
cout << max2 << endl;

uint64_t max3 = -1;
cout << max3 << endl;

输出是：

max1: 1.84467e+019
max2: 9223372036854775808
max3: 18446744073709551615

Answer 1

浮点数的精度有限。

在您的系统上（通常采用 binary64 IEEE-754 格式）18446744073709551615 不是具有 double 格式表示的数字。确实有表示的最接近的数字恰好是 18446744073709551616.

将两个大小截然不同的浮点数相减（和相加）通常会产生错误。该错误对于较小的操作数可能很重要。在 18446744073709551616. - 1. -> 18446744073709551616. 的情况下，减法的误差为 1，实际上与较小的操作数的值相同。

当浮点值转换为整数类型，并且该值不能适合整数类型时，程序的行为是未定义的 - 即使整数类型是无符号的。

Answer 2

TL;DR: 不是 uint64_t 类型无法显示 pow(2,64)-1正确 但相反：double 由于缺少有效数字而无法精确存储 2⁶⁴ - 1位。您只能使用具有 64 位或更高精度的类型（例如许多平台上的 long double）。尝试 std::pow(2.0L, 64) - 1.0L（注意 L 后缀）或 powl(2.0L, 64) - 1.0L; 并查看

无论如何，您不应该从一开始就对整数数学使用浮点类型。不仅计算 pow(2, x) 比计算 1ULL << x 慢得多，而且由于 double 的精度有限，它还会导致您看到的问题。使用 uint64_t max2 = -1 代替，如果编译器支持 __int128

，则使用 ((unsigned __int128)1ULL << 64) - 1

pow(2, 64) - 1是一个double表达式，不是 int，因为 pow 没有任何 returns 整数类型的重载。整数 1 将提升到与 pow

的结果相同的排名

但是，由于 IEEE-754 双精度只有 64 位长，您可以永远存储具有 64 个或更多有效位的值，如 2⁶⁴-1

64-bit unsigned integers which cannot map onto a double

因此 pow(2, 64) - 1 将四舍五入为 最接近的可表示值 ，即 pow(2, 64) 本身，而 pow(2, 64) - 1 == pow(2, 64) 将得到 1。小于它的最大值是 18446744073709549568 = 2⁶⁴ - 2048。您可以使用 std::nextafter

检查

在某些平台上（特别是 x86，MSVC 除外）long double does have 64 bits of significand, so you'll get the correct value in that case. The following snippet

double max1 = pow(2, 64) - 1;
std::cout << "pow(2, 64) - 1 = " << std::fixed << max1 << '\n';
std::cout << "Previous representable value: " << std::nextafter(max1, 0) << '\n';
std::cout << (pow(2, 64) - 1 == pow(2, 64)) << '\n';

long double max2 = pow(2.0L, 64) - 1.0L;
std::cout << std::fixed << max2 << '\n';

打印出来

pow(2, 64) - 1 = 18446744073709551616.000000
Previous representable value: 18446744073709549568.000000
1
18446744073709551615.000000

你可以清楚地看到long double可以按预期存储正确的值

在许多其他平台上 double 可能是 IEEE-754 quadruple-precision or double-double。两者都有超过 64 位的有效位，所以你可以做同样的事情。但是开销当然会更高

为什么 uint64_t 不能正确显示 pow(2, 64) - 1？

Why uint64_t cannot show pow(2, 64) - 1 properly?

c++

floating-point

double

uint64