置信区间的高斯过程回归估计

Question

这可能是一个奇怪的问题，但是当高斯过程回归看到一堆没有太多信号的嘈杂数据时，他们会怎么做？下面我采用了一堆嘈杂的数据和运行 GPR 的两种不同实现方式，它们都产生了极小的置信区间。为什么会这样？有充分的理由吗？我的直觉告诉我置信区间应该更大。 GPR 真的对他们对平均值的估计有信心吗？此外，除了添加白噪声内核之外，是否有适当的方法来填充方差估计？

import numpy as np
import gpflow as gpflow
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import DotProduct, WhiteKernel, Matern, RBF

## some data
X1 = np.array([ 2.,  2.,  3.,  4.,  5.,  5.,  5.,  6.,  6.,  6.,  7.,  7.,  7.,
        8.,  8.,  8.,  8.,  8.,  9.,  9.,  9.,  9., 10., 11., 11., 12.,
       12., 12., 13., 13., 14., 14., 15., 15., 15., 16.])

Y1  = np.array([-0.70007257, -0.69388464, -0.63062014, -0.72834303, -0.67526754,
        1.00259286, -0.96141351, -0.08295884,  1.0727982 , -2.29816347,
       -0.61594418,  1.13696593, -2.18716473, -0.35037363,  1.96273672,
        1.31621059, -1.88566144,  1.80466116, -0.79665828,  2.40720146,
        1.83116473, -1.67224082, -0.96766061, -0.67430408,  1.79624005,
       -1.41192248,  1.01754167,  0.37327703, -1.1195072 ,  0.71855107,
       -1.16906878,  0.99336417,  1.12563488, -0.36836713,  0.12574823,
        0.23294988])

## gpflow
model = gpflow.models.GPR(X=X1[:,None],
                         Y= Y1[:,None], kern=gpflow.kernels.RBF(1))

gpflow.train.ScipyOptimizer().minimize(model)

## scikit
kernel = RBF()
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,
        random_state=0).fit(X= X1[:,None], y= Y1[:, None])

# plot function
def plot(m,  gpflow =True):
    plt.figure(figsize=(8, 4))
    xtest = np.linspace(np.min(X1),np.max(X1), 20)[:,None]
    line, = plt.plot(X1, Y1, 'x', mew=2)

    if gpflow:
        mu, var = m.predict_f(np.hstack((xtest, np.zeros_like(xtest))))

        plt.plot(xtest, mu, color="green", lw=2, label="GPflow")
        plt.fill_between(xtest[:, 0], 
                         (mu - 2*np.sqrt(var))[:, 0], 
                         (mu + 2*np.sqrt(var))[:, 0], 
                         color="lightgreen", alpha=0.4)
    else:   
        mu, se = m.predict(xtest, return_std=True)

        plt.plot(xtest, mu, color="red", lw=2, label="Scipy")
        plt.fill_between(xtest[:, 0], 
                         (mu - 2*se)[:, 0], 
                         (mu + 2*se)[:, 0], 
                         color="red", alpha=0.4)


    plt.legend()

[

Answer 1

查看模型超参数的实际优化值通常很有帮助 - 在本例中为噪声方差、核方差和核长度尺度：

                             class           ...                             value
GPR/kern/lengthscales    Parameter           ...                3.7149993613788737
GPR/kern/variance        Parameter           ...            2.0572871322469534e-06
GPR/likelihood/variance  Parameter           ...                1.5461369937869296

因此 GP 将所有内容都解释为噪声（在这种情况下，长度尺度的实际值非常随意，重要的是微小的核方差）。（如果你使用 predict_y 而不是 predict_f 你应该得到一个涵盖大部分观察的置信区间。） "RBF" （我更喜欢平方指数 - 每个固定内核都描述径向基函数。 ..) 内核对你之前的函数做出非常强的平滑假设（而且这只使用超参数的最大似然点估计），所以在这个意义上没有太多的灵活性 - 一旦你解释了所有数据, GP 在某种意义上 "saying" 没有信号，因此你得到了先验结果——均值为零。这有点帮助吗？

置信区间的高斯过程回归估计

Gaussian process regressions estimates of confidence intervals

statistics

regression

gaussian

scikit-learn

gpflow