pytorch如何通过argmax进行反向传播？

Question

我在 pytorch 中使用质心位置上的梯度下降而不是期望最大化来构建 Kmeans。损失是每个点到其最近的质心的平方距离之和。为了确定哪个质心最接近每个点，我使用 argmin，它不是处处可微的。然而，pytorch 仍然能够反向传播和更新权重（质心位置），在数据上提供与 sklearn kmeans 相似的性能。

知道这是如何工作的，或者我如何在 pytorch 中解决这个问题？关于 pytorch github 的讨论表明 argmax 不可微：https://github.com/pytorch/pytorch/issues/1339。

下面的示例代码（随机点）：

import numpy as np
import torch

num_pts, batch_size, n_dims, num_clusters, lr = 1000, 100, 200, 20, 1e-5

# generate random points
vector = torch.from_numpy(np.random.rand(num_pts, n_dims)).float()

# randomly pick starting centroids
idx = np.random.choice(num_pts, size=num_clusters)
kmean_centroids = vector[idx][:,None,:] # [num_clusters,1,n_dims]
kmean_centroids = torch.tensor(kmean_centroids, requires_grad=True)

for t in range(4001):
    # get batch
    idx = np.random.choice(num_pts, size=batch_size)
    vector_batch = vector[idx]

    distances = vector_batch - kmean_centroids # [num_clusters, #pts, #dims]
    distances = torch.sum(distances**2, dim=2) # [num_clusters, #pts]

    # argmin
    membership = torch.min(distances, 0)[1] # [#pts]

    # cluster distances
    cluster_loss = 0
    for i in range(num_clusters):
        subset = torch.transpose(distances,0,1)[membership==i]
        if len(subset)!=0: # to prevent NaN
            cluster_loss += torch.sum(subset[:,i])

    cluster_loss.backward()
    print(cluster_loss.item())

    with torch.no_grad():
        kmean_centroids -= lr * kmean_centroids.grad
        kmean_centroids.grad.zero_()

Answer 1

正如 alvas 在评论中指出的那样，argmax 不可微分。然而，一旦你计算它并将每个数据点分配给一个集群，关于这些集群位置的损失导数就被明确定义了。这就是您的算法所做的。

为什么有效？如果您只有一个集群（因此 argmax 操作无关紧要），您的损失函数将是二次函数，最小值位于数据点的平均值处。现在有了多个集群，你可以看到你的损失函数是分段的（在更高的维度上考虑体积）二次 - 对于任何一组质心 [C1, C2, C3, ...] 每个数据点都分配给某个质心 CN 并且损失是局部二次。该区域的范围由所有替代质心 [C1', C2', C3', ...] 给出，来自 argmax 的分配保持不变；在这个区域内，argmax 可以被视为一个常数，而不是一个函数，因此 loss 的导数是明确定义的。

现在，实际上，您不太可能将 argmax 视为常数，但您仍然可以将朴素的 "argmax-is-a-constant" 导数视为近似指向最小值，因为大多数数据点是可能确实属于迭代之间的同一个集群。一旦你足够接近局部最小值使得点不再改变它们的分配，这个过程就可以收敛到最小值。

另一种更理论化的看待它的方法是，您正在做期望最大化的近似值。通常，您会有 "compute assignments" 步骤，它由 argmax 镜像，而 "minimize" 步骤归结为在给定当前分配的情况下找到最小化的聚类中心。最小值由 d(loss)/d([C1, C2, ...]) == 0 给出，对于二次损失，它通过每个集群内的数据点分析给出。在您的实施中，您正在求解相同的方程式，但使用梯度下降步骤。事实上，如果您使用二阶（牛顿）更新方案而不是一阶梯度下降，您将隐式地精确再现基线 EM 方案。

Answer 2

想象一下：

t = torch.tensor([-0.0627,  0.1373,  0.0616, -1.7994,  0.8853, 
                  -0.0656,  1.0034,  0.6974,  -0.2919, -0.0456])
torch.argmax(t).item() # outputs 6

我们增加t[0]一些，δ接近0，这会更新argmax吗？它不会，所以我们一直在处理 0 梯度。忽略这一层，或者假设它被冻结了。

argmin 或因变量处于离散步骤中的任何其他函数也是如此。

pytorch如何通过argmax进行反向传播？

How does pytorch backprop through argmax?

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