如何用参数化求解线性方程组？

Question

我正在尝试用这种方式求解我的方程式：

a = np.array([[1,2,4,1,0,2],[0,1,2,0,0,1],[0,0,0,2,2,0],[0,0,0,0,14,4],[0,0,0,0,0,-2]])
b = np.array([3,0,1,0,14])
x = np.linalg.solve(a,b)

但是，由于它们不是满分，所以没有唯一的解决方案，而是无穷无尽的解决方案。通常我会在解决这个问题时简单地插入一个参数，比如 x3 = t 。然后我有一个解决方案，其中 x2 和 x1 也可以包含 t。但是我怎么告诉python这样解决呢？或者至少告诉它 x3 是 t 并继续使用它？

我知道有最小二乘法，但这不是我要找的。

编辑：解决方案看起来像这样：x6 == -7 && x5 == 2 && x4 == -(3/2) && x2 == 7 - 2 x3 && x1 == 9/2 - 用 Mathematica 制作。只想知道如何在 python.

中获得相同的结果

Answer 1

这有数学方面和编程方面。在数学方面，重要的是要注意如果 ax=b 有多个解，那么这些解是 {y + b1 * t1 + b_2 * t_2 + ... + bN * tN | t1, ..., tN in the real numbers} 其中 y 是 ax=b 的任意解（例如最小二乘解），b1, ..., bN 是 null space 的基向量一种。在编程方面，np.linalg.lstsq 获得最小二乘解，scipy.linalg.null_space 获得空 space。将它们放在一起以获得类似于您想要的输出的一种方法如下。

import numpy as np
import scipy.linalg
import sys


def print_parameterized_form(a, b):
    one_solution = np.linalg.lstsq(a, b, rcond=None)[0]
    null_space_basis = scipy.linalg.null_space(a)
    for i in range(a.shape[1]):
        sys.stdout.write('x{} = {}'.format(i, one_solution[i]))
        for j in range(null_space_basis.shape[1]):
            sys.stdout.write(' + ({}) * t{}'.format(null_space_basis[i, j], j))
        sys.stdout.write('\n')

a = np.array([[1,2,4,1,0,2],[0,1,2,0,0,1],[0,0,0,2,2,0],[0,0,0,0,14,4],[0,0,0,0,0,-2]])
b = np.array([3,0,1,0,14])

print_parameterized_form(a, b)

这应该给你这样的东西：

x0 = 4.500000000000011 + (-3.5160449919006082e-15) * t0
x1 = 1.4000000000000128 + (0.8944271909999162) * t0
x2 = 2.7999999999999887 + (-0.4472135954999573) * t0
x3 = -1.499999999999997 + (9.065580383436411e-17) * t0
x4 = 2.0000000000000004 + (4.62652890306841e-18) * t0
x5 = -6.999999999999999 + (1.86607760441072e-16) * t0

Answer 2

使用SymPy,

import numpy as np
import sympy as sym

a = np.array([[1,2,4,1,0,2],[0,1,2,0,0,1],[0,0,0,2,2,0],[0,0,0,0,14,4],[0,0,0,0,0,-2]])
b = np.array([3,0,1,0,14])
num_equations, num_variables = a.shape

x = sym.symarray('x', num_variables)
solution = sym.solve([sym.Eq(ax-b) for ax, b in zip(np.dot(a, x), b)])
print(solution)

产量

{x_5: -7, x_4: 2, x_3: -3/2, x_1: -2*x_2 + 7, x_0: 9/2}

如何用参数化求解线性方程组？

How to solve linear equations with parametrization?

python

linear-equation

numpy