椭圆弧的边界

Question

我需要找到二维变换椭圆弧的精确边界。

参赛数据为：

a - 椭圆半径 x
b - 椭圆半径 y
transform - 具有 0 个平移的 2D 变换 (a, b, c, d, tx, ty)
startAngle - 圆弧起始角度
endAngle - 圆弧结束角度

我已使用此主题答案找到变换椭圆的边界 https://math.stackexchange.com/questions/91132/how-to-get-the-limits-of-rotated-ellipse

它工作正常。

我现在有什么

const rx2 = radiusX * radiusX;
const ry2 = radiusY * radiusY;

let maxX = Math.sqrt(rx2 * transform.a * transform.a + ry2 * transform.c * transform.c);
let maxY = Math.sqrt(rx2 * transform.b * transform.b + ry2 * transform.d * transform.d);
let minX = -maxX;
let minY = -maxY;

下一步是找到点p1、p2、p3、p4（见图）这样我就可以检查哪些点在 startAngle 和 endAngle 内。

required points

椭圆的方程为： simple equation

变换后的椭圆方程应为： transformed equation

为了找到所需的点，最后一个方程必须求解 x 和 y

Answer 1

我知道了。

所以我只需要对点 (minX, minY) 应用逆变换；（最大X，最小Y）； (maxX, maxY); （最大X，最小Y）；然后用简单的椭圆（上面提到的）和直线方程求出四个交点，然后将其转化为全局坐标乘以变换。

这里是一分代码

arcLineIntersection(lineStart, lineEnd, rx2, ry2, out) {
    const lineK = (lineEnd.y - lineStart.y) / (lineEnd.x - lineStart.x);

    if (Number.isFinite(lineK)) {
      const lineB = lineStart.y - lineK * lineStart.x;

      const a = lineK * lineK + ry2 / rx2;
      const b = 2 * lineK * lineB;

      const x = -b / (2 * a);
      const y = lineK * x + lineB;

      out.set(x, y);
    } else {
      const x = lineStart.x;
      const y = Math.sqrt(ry2 * (1 - x * x / rx2));

      out.set(x, y);
    }
  }

Result

椭圆弧的边界

Bounds of ellipse arc

ellipse

bounds

automatic-ref-counting