强封闭发音器的泛化

Question

我在看类强大而封闭的发音者：

class Profunctor p where
    dimap :: (a' -> a) -> (b -> b') -> p a b -> p a' b'
class Profunctor p => Strong p where
    strong :: p a b -> p (c, a) (c, b)
class Profunctor p => Closed p where
    closed :: p a b -> p (c -> a) (c -> b)

((,)是对称双函子，所以等价于"profunctors"包中的定义。)

我注意到 (->) a 和 (,) a 都是内函子。似乎 Strong 和 Closed 具有相似的形式：

class (Functor f, Profunctor p) => C f p where
    c :: p a b -> p (f a) (f b)

确实，如果我们看一下规律，有些也有类似的形式：

strong . strong ≡ dimap unassoc assoc . strong
closed . closed ≡ dimap uncurry curry . closed

lmap (first f) . strong ≡ rmap (first f) . strong
lmap (. f)     . closed ≡ rmap (. f)     . closed

这些都是一般情况的特例吗？

Answer 1

非常有趣。这不是真正的答案，只是想法...

所以我们需要的是对 (,) 和 (->) 的抽象，它提供 assoc/curry 和 first/[=20= 的概括].我将解决前者：

class Isotropic f where
  lefty :: f a (f b c) -> f (a,b) c
  righty :: f (a,b) c -> f a (f b c)
  -- lefty ≡ righty⁻¹

instance Isotropic (,) where
  lefty (a,(b,c)) = ((a,b),c)
  righty ((a,b),c) = (a,(b,c))

instance Isotropic (->) where
  lefty = uncurry
  righty = curry

简单。问题是，还有其他这样的例子吗？当然有一个微不足道的

newtype Biconst c a b = Biconst c

instance Isotropic (Biconst c) where
  lefty (Biconst c) = Biconst c
  righty (Biconst c) = Biconst c

然后生成的profunctor

class Profunctor p => Stubborn p where
  stubborn :: p a b -> p (Biconst d c a) (Biconst d c b)

也可以这样写

class Profunctor p => Stubborn p where
  stubborn :: p a b -> p d d

但是这个实例似乎也太琐碎了，没有任何用处：

instance Stubborn (->) where
  stubborn _ = id
instance (Monad m) => Stubborn (Kleisli m) where
  stubborn (Kleisli _) = Kleisli pure
instance (Monoid m) => Stubborn (Forget m) where
  stubborn (Forget _) = Forget $ const mempty

我怀疑 (,) 和 (->) 真的是唯一有用的情况，因为它们分别是“自由双函数”/“自由profunctor”。

Answer 2

您可以将 Choice 添加到列表中。 Strong 和 Choice（或笛卡尔坐标和柯笛坐标，Jeremy Gibbons 称它们为）都是 Tambara 模块的示例。我在 profunctor optics 上的博客 post 中讨论了包含 Closed 的一般模式（跳至讨论部分），名称为 Related.

强封闭发音器的泛化

Generalization of strong and closed profunctors

haskell

functor

category-theory

profunctor