Number of valid parenthesis 加泰罗尼亚数字解释

Question

在研究 catalan numbers 时，我遇到的一些应用程序是：

没有使用 n 个节点的可能二叉搜索树。
没有使用圆上的 2*n 个点绘制不相交弦的方法。
没有办法排列 n 对括号。

虽然我理解前两个问题，即加泰罗尼亚数字如何适合他们的解决方案，但我无法理解它们如何适合第三个问题。

在 Internet 上找不到任何其他有用的资源来解释 HOW 部分。每个人都说这是解决方案。

谁能解释一下。

Answer 1

由于其他人似乎不同意我这个问题off-topic，所以我现在决定它是主题并提供和回答。

维基百科确实混淆了 "number of ways to arrange n pairs of parentheses"（this link 中的第二个要点）。部分混淆是括号字符串的顺序与括号字符串的顺序不匹配二叉树，你确实理解，或者还有很多其他的例子。

这是一种将正确匹配的 n 对括号的字符串转换为具有 n 个内部节点的二叉树的方法。考虑 left-most 括号，它将是一个 left-parenthesis，连同它的匹配 right-parenthesis。将字符串变成二叉树的一个节点。 里面的currently-considered括号里面的sub-string就变成了这个节点左边的child，[=71的sub-string =]after（右边）的currently-considered right-parenthesis变成右边的child。 sub-string 中的一个或两个都可以为空，并且 currently-considered 括号被简单地删除。如果 sub-string 不为空，则递归地继续此过程，直到删除所有括号。

这里有两个例子。让我们从字符串 ((())) 开始。我们从

开始

considered-parentheses是最外面的。这变成

（我没有费心画外部叶节点）然后

然后

这是维基百科的 left-most 具有 3 个内部节点的二叉树。

现在让我们做另一个字符串，(())()。我们从

开始

同样，considered-parentheses 是最外面的。这转换为

现在 considered-parentheses 是前两个，而不是最外面的。这变成

最后变成

这是维基百科列表中的第二个二叉树。

希望你现在明白了。这是正确配对的 3 对括号的所有五个可能字符串的列表，后面是维基百科的二叉树列表。这些列表现在相互对应。

    ((()))       (()())        (())()       ()(())       ()()()

Number of valid parenthesis 加泰罗尼亚数字解释

Number of valid parenthesis catalan number explanation

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