如何用矩阵中的最小和计算从 [0,0] 到 [M, N] 的路径？

Question

我需要计算从 [0,0] 到 [M, N] 的路径，矩阵中的最小和仅向右或向下移动？

我找到了这样的 link https://www.programcreek.com/2014/05/leetcode-minimum-path-sum-java/ 但是动态规划选项根本不清楚

我试图用 BFS 算法自己实现它，但这是一个缓慢的解决方案

public int minPathSum(final int[][] grid) {
        if (grid.length == 1 && grid[0].length == 1) {
            return grid[0][0];
        }
        final int[][] moves = {new int[]{1, 0}, new int[]{0, 1}};
        final Queue<int[]> positions = new ArrayDeque<>();
        final Queue<Integer> sums = new ArrayDeque<>();
        positions.add(new int[]{0, 0});
        sums.add(grid[0][0]);
        int minSum = Integer.MAX_VALUE;
        while (!positions.isEmpty()) {
            final int[] point = positions.poll();
            final int sum = sums.poll();
            for (final int[] move : moves) {
                final int x = point[0] + move[0];
                final int y = point[1] + move[1];
                if (x == grid.length - 1 && y == grid[0].length - 1) {
                    minSum = Math.min(minSum, sum);
                } else if (x > -1 && y > -1 && x < grid.length && y < grid[0].length) {
                    positions.add(new int[]{x, y});
                    sums.add(sum + grid[x][y]);
                }
            }
        }
        return minSum + grid[grid.length - 1][grid[0].length - 1];
    }

能否请您解释一下，如果可能的话请提供您将如何解决？

Answer 1

到达 (m, n) 的路径必须通过以下 2 个单元格之一：(m-1, n) 或 (n-1, m)。所以达到 (m, n) 的最小和可以写成“2 个单元格中的最小值加上 sum[m][n]”。

minSum(m, n) = min (minSum(m-1, n-1), minSum(m-1, n)) + sums[m][n]

Answer 2

我对如何实施广度优先搜索感到有点困惑，但很难理解这里的动态公式，对我来说这似乎更简单:)

这几乎就是经典的动态规划问题。到达任何单元格 solution[y][x]，除了第一个，最多有两个前导：option 1 和 option 2。假设我们知道达到每一个的最佳解决方案，我们会选择哪条边？显然这两个选项中更好！

稍微正式一点，如果M持有给定的值：

solution[0][0] = M[0][0]

// only one choice along
// the top horizontal and
// left vertical

solution[0][x] =
  M[0][x] + solution[0][x - 1]

solution[y][0] =
  M[y][0] + solution[y - 1][0]

// two choices otherwise:
// the best of option 1 or 2

solution[y][x] =
  M[y][x] + min(
    solution[y][x - 1],
    solution[y - 1][x]
  )

我们可以看到我们可以创建一个适当的例程，例如 for 循环，以 "bottom-up" 顺序访问我们 solution 矩阵的单元格，因为每个单元格的值取决于在我们已经计算过的一两个前辈上。

JavaScript代码：

function show(M){
  let str = '';
  for (let row of M)
    str += JSON.stringify(row) + '\n';
  console.log(str);
}

function f(M){
  console.log('Input:\n');
  show(M);
  
  let solution = new Array();
  for (let i=0; i<M.length; i++)
    solution.push(new Array(M[0].length).fill(Infinity));
    
  solution[0][0] = M[0][0];

  // only one choice along
  // the top horizontal and
  // left vertical
  
  for (let x=1; x<M[0].length; x++)
    solution[0][x] =
      M[0][x] + solution[0][x - 1];

  for (let y=1; y<M.length; y++)
    solution[y][0] =
      M[y][0] + solution[y - 1][0];
      
  console.log('Solution borders:\n');
  show(solution);

  // two choices otherwise:
  // the best of option 1 or 2

  for (let y=1; y<M.length; y++)
    for (let x=1; x<M[0].length; x++)
      solution[y][x] =
        M[y][x] + Math.min(
          solution[y][x - 1],
          solution[y - 1][x]
        );
        
  console.log('Full solution:\n');
  show(solution);
  
  return solution[M.length-1][M[0].length-1];
}

let arr = [];
arr[0] = [0, 7, -7];
arr[1] = [6, 7, -8];
arr[2] = [1, 2, 0];

console.log(f(arr));

如何用矩阵中的最小和计算从 [0,0] 到 [M, N] 的路径？

How to calculate a path from [0,0] to [M, N] with min sum in a matrix?

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