高斯数据拟合因 x 数据的位置而异

Question

我很难理解为什么我对一组数据 (ydata) 的高斯拟合在移动对应于该数据的 x-values 间隔时效果不佳 ( xdata1 到 xdata2）。高斯写为：

$f(x) = A \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

其中 A 只是一个振幅因子。更改数据的某些值，很容易使其适用于这两种情况，但也可以很容易地找到它对 xdata1 效果不佳以及参数协方差不适用的情况估计的。我在 Spyder 中使用 scipy.optimize.curve_fit，在 Windows 7.

上使用 Python 3.7.1

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

xdata1 = np.linspace(-9,4,20, endpoint=True) # works fine
xdata2 = xdata1+2
ydata = np.array([8,9,15,12,14,20,24,40,54,94,160,290,400,420,300,130,40,10,8,4])

def gaussian(x, amp, mean, sigma):
    return amp*np.exp(-(((x-mean)**2)/(2*sigma**2)))/(sigma*np.sqrt(2*np.pi))

popt1, pcov1 = curve_fit(gaussian, xdata1, ydata)
popt2, pcov2 = curve_fit(gaussian, xdata2, ydata)

fig, ([ax1, ax2]) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2,figsize=(9, 4))

ax1.plot(xdata1, ydata, 'b+:', label='xdata1')
ax1.plot(xdata1, gaussian(xdata1, *popt1), 'r-', label='fit')
ax1.legend()
ax2.plot(xdata2, ydata, 'b+:', label='xdata2')
ax2.plot(xdata2, gaussian(xdata2, *popt2), 'r-', label='fit')
ax2.legend()

Answer 1

问题是您第二次尝试拟合高斯分布时在搜索参数 space 时卡在了局部最小值：curve_fit 是 least_squares which uses gradient descent to minimize the cost function and this is liable to get stuck in local minima 的包装器。

您应该尝试提供合理的起始参数（通过使用 curve_fit 的 p0 参数）来避免这种情况：

 #...  your code

 y_max = np.max(y_data)
 max_pos = ydata[ydata==y_max][0]
 initial_guess = [y_max, max_pos, 1] # amplitude, mean, std

 popt2, pcov2 = curve_fit(gaussian, xdata2, ydata, p0=initial_guess)

如您所见，它提供了一个合理的匹配：

您应该编写一个函数来提供对起始参数的合理估计。这里我只是找到了最大的 y 值，并用它来确定初始参数。我发现这对于拟合正态分布很有效，但您可以考虑其他方法。

编辑：

您还可以通过缩放振幅来解决问题：振幅太大以至于参数 space 失真，梯度下降仅遵循振幅变化最大的方向并有效地忽略 sigma。考虑参数 space 中的以下图（颜色是给定参数的拟合残差平方和，白色十字显示最优解）：

确保记下 x 轴和 y 轴的不同比例。

需要在 y（振幅）中进行大量 'unit' 大小的步长才能从 x,y = (0,0) 点达到最小值，因为您只需要小于一步 'unit' 达到 x (sigma) 的最小值。该算法只是在振幅上采取步骤，因为这是最陡的梯度。当它达到使成本函数最小化的幅度时，它只是停止算法，因为它似乎已经收敛并且对 sigma 参数几乎没有变化。

解决此问题的一种方法是缩放您的 ydata 以消除参数 space 的扭曲：将您的 ydata 除以 100，您将看到您的拟合在不提供任何起始参数的情况下工作！

高斯数据拟合因 x 数据的位置而异

Gaussian data fit varying depending on position of x data

python

curve-fitting

gaussian

data-fitting