从数学的角度来看，是否可以从高度贴图纹理生成法线贴图？

Question

我的看法是你不能只从高度贴图纹理生成法线贴图？我说的对不对？

数学参数：

假设从

给定曲面连续双射

S = [0,1]

T = [0,1]

让我们将 SxT 称为图像 space。

从微分几何可以证明，该参数曲面的法线是

如果假设从 SxT 图像 space 到几何欧几里德 space 的映射非常简单，那么我们可以检索：

然后你可以用一些不同的方案来计算这样的偏导数。我们得出了那个简单的公式，只有 大胆的 建议，这个建议绝对不正确。

图形中的问题示例。

让我们假设我们有一个三角形 space 具有 3 个顶点。条件是：

法线贴图 -- 对于从合适的 2d 纹理的 (u,v) 获取的具有 (u,v,1-u-v) 重心坐标的点是正常的，并且它在局部坐标中。系统相对于三角形。

heihtmap -- 它是具有 (u,v,1-u-v) 重心坐标的点在法线方向上相对于从合适的 2d 纹理的 (u,v) 获取的三角形局部 space 的几何偏移量。

在构建法线贴图的过程中，我们完全忽略了高度贴图在 (u,v,1-u-v) eculidian point 附近的分布情况。而且我们只检索法线贴图的一些近似值。

Answer 1

哦，看来我的评论太简短了。

用代码描述方法写一个完整的答案更容易。

我将使用 C++ 和 GLSL 的伪代码组合。

constexpr int width = 32, height = 32;
constexpr float height_scale = 16.0f; // Change if necessary.

float hmap[W][H] = {...};
float normalmap[W][H];

vec3 GetPoint(ivec2 a)
{
    a.x %= W;
    a.y %= H;
    return {a.x, a.y, hmap[a.x][a.y] * height_scale};
}

vec3 GetNormal(ivec2 a, bool loop_hmap)
{
    vec3 o = GetPoint(a),
         a = GetPoint({a.x + 1, a.y}),
         b = GetPoint({a.x, a.y + 1}),
         c = GetPoint({a.x - 1, a.y}),
         d = GetPoint({a.x, a.y - 1});
    vec3 n1 = normalize(cross(a-o, b-o));
    vec3 n2 = normalize(cross(b-o, c-o));
    vec3 n3 = normalize(cross(c-o, d-o));
    vec3 n4 = normalize(cross(d-o, a-o));

    if (loop_hmap)
        return normalize(n1+n2+n3+n4);
    else
    {
        vec3 sum = {0,0,0};
        bool b1 = (a.x+1 >= 0 && a.y >= 0 && a.x+1 < W && a.y < H);
        bool b2 = (a.x >= 0 && a.y+1 >= 0 && a.x < W && a.y+1 < H);
        bool b3 = (a.x-1 >= 0 && a.y >= 0 && a.x-1 < W && a.y < H);
        bool b4 = (a.x >= 0 && a.y-1 >= 0 && a.x < W && a.y-1 < H);
        if (b1 && b2) sum += n1;
        if (b2 && b3) sum += n2;
        if (b3 && b4) sum += n3;
        if (b4 && b1) sum += n4;
        return normalize(sum);
    }
}

int main()
{
    for (int i = 0; i < H; i++)
        for (int j = 0; j < W; j++)
            normalmap[j][i] = GetNormal(j, i, 0);
}

loop_hmap GetNormal() 的参数改变了函数计算边缘像素法线的方式。 1 应用于平铺纹理，如沙子和水。 0 应用于非平铺纹理，如物品、生物、树木。

Answer 2

对我来说，我自己的初始问题是无效的，它有一个错误！！！

I – original parametric surface with domain as cartesian product of [0,1] and range of it as euclidean space

II - normal to original surface

III - modified original surface with heightmap

IV - normal map which we want to receive with even ignoring geometric modification of the surface by “III”

最后一步 IV 包括很多要区分的东西：H(s,t) 和函数的原始定义...我不会对方程式进行进一步分析...但对我来说，您可以't 仅从（高度图）生成法线贴图...

P.S。要执行进一步的分析，如果你想从那个地方检索 *.docx 文件 https://yadi.sk/d/Qqx-jO1Ugo3uL 据我所知，不可能将 ms word 中的公式转换为乳胶，但无论如何请将其用作草稿。

从数学的角度来看，是否可以从高度贴图纹理生成法线贴图？

Is it possible generate normal map from heightmap texture from math point of view?

opengl

graphics

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