为什么一些非常接近的浮点数会导致此 Python 代码与 3.4.x 至少在 3.6.6 版本中出现这种差异？

Question

当我执行此代码时，它会生成算术分歧或不生成非常接近的浮点数，当数字为 2**n-p/q 形式时会发生这种情况可以产生可接受的结果，有时会产生非常快的分歧。我已经阅读了一些有关浮点运算的文档，但我认为问题出在别处，但在哪里？如果有人有想法，我会很乐意了解这件事...

我尝试在 Python 3.4.5（32 位）上执行代码，我已经在 repl.it 和 trinket here url[https://trinket.io/python3/d3f3655168] 上在线尝试了结果相似。

#this code illustrates arithmetical divergence with floating point numbers
# on Python 3.4 an 3.6.6

def ErrL(r):
    s=1
    L=[]
    for k in range(10):
        s=s*(r+1)-r
        L.append(s)
    return L

print(ErrL(2**11-2/3.0)) # this number generate a fast divergence in loop for
#[0.9999999999997726, 0.9999999995341113, 0.9999990457047261, 0.9980452851802966, -3.003907522359441, -8200.33724163292, -16799071.44994476, -34410100067.30351, -70483354973240.67, -1.4437340543685667e+17]

print(ErrL(2**12-1/3.0)) # this number generate a fast divergence in loop for
#[0.9999999999995453, 0.9999999981369001, 0.9999923674999991, 0.968732191662184, -127.09378815725313, -524756.5521508802, -2149756770.9781055, -8806836909202.637, -3.607867520470422e+16, -1.4780230608860496e+20]

print(ErrL(2**12-1/10.0)) # this number generate a fast divergence in loop for
#[0.9999999999995453, 0.9999999981369001, 0.9999923670652606, 0.9687286296662023, -127.11567712053602, -524876.117595124, -2150369062.0754633, -8809847014512.865, -3.609306223376185e+16, -1.478696666654989e+20]

print(ErrL(2**12-1/9.0)) # no problem here
#[1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

print(ErrL(2**12-1/11.0)) # no problem here
#[1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

我期待的显然是十个一的向量！

Answer 1

用Python2执行这段代码时，整数之间的/表示整数除法（现在在Python3中称为//）。

所以，在这种情况下，2/3、1/3等都等于0，得到的就是ErrL(2**11)、...，永远是1.

对于 Python 3，2/3 是一个浮点数，而不是 0，这解释了为什么你会得到不同的结果。

Answer 2

之所以分歧很快，是因为数学。如果你写 f(s) = (r+1) * s - r，很明显导数是常数 r+1。根据 wikipedia IEE 754 表示中的 64 位浮点数具有 53 位的尾数。当 r 接近 2**11 时，最后一位的错误将需要不到 5 步才能变得接近 1。当数字接近 2**12 时，它会在第 5 次迭代时爆炸，这就是你获得.

呸，我40年前学的数学还没破...

为什么一些非常接近的浮点数会导致此 Python 代码与 3.4.x 至少在 3.6.6 版本中出现这种差异？

Why some very close floating numbers cause such divergence in this Python code with 3.4.x to at least 3.6.6 version?

python

math

floating-accuracy