布尔逻辑简化

Question

我正在尝试解决这个问题，但遇到了困难： ' 表示补码 Y = A'B' + A'BC' + (A + C')' 我的尝试： A'B' + A'BC' + A'C A'(B' + BC' + C) 现在这就是我迷路的地方。括号内的表达式以某种方式计算为 1，但我不确定如何计算。 编辑：现已解决。

Answer 1

我总是喜欢为这种东西写一个程序，看看逻辑推理是否成立：

#include<stdio.h>
int main (void) {
    puts ("A B C");
    for (int a = 0; a < 2; a++) {
        for (int b = 0; b < 2; b++) {
            for (int c = 0; c < 2; c++) {
                int x = !a && !b;
                int y = !a && b && !c;
                int z = !(a || !c);
                printf ("%d %d %d -> %d %d %d -> %d\n",
                    a, b, c, x, y, z, x || y || z);
            }
        }
    }
    return 0;
}

其输出为：

A B C
0 0 0 -> 1 0 0 -> 1
0 0 1 -> 1 0 1 -> 1
0 1 0 -> 0 1 0 -> 1
0 1 1 -> 0 0 1 -> 1
1 0 0 -> 0 0 0 -> 0
1 0 1 -> 0 0 0 -> 0
1 1 0 -> 0 0 0 -> 0
1 1 1 -> 0 0 0 -> 0

你可以看出简化的表达式就是 A'。您还可以看到原因，因为中间部分显示了三个单独的术语，它们被 OR-ed 在一起以获得最终结果。

当 A 为真时（最后四行），所有三个项都为假，因此 OR-ing 也给出假。前两项 A'B' 和 A'BC' 是假的，因为它们都 AND 和假的 A'。最后一项 A+C' 始终为真（因为真 OR 任何事物都是真的），这意味着其否定始终为假。
转向前四行，当A和B都为假时，第一项A'B'为真，所以其他两项不没关系（真的OR任何东西OR任何东西都是真的）。
那就只剩下第三行和第四行了。第三，A和C都为假，C为真，意思是中项A'BC'为真。
第四行有 A false 和 C true 所以 A+C' 给出 false 或 false -> false 所以第三项 (A+C')' 是真（B 无关紧要）。

按照 CompSci 的方式进行操作，您只需逐步执行它，应用规则：

     A'B' + A'BC' + (A+C')'
=    A'B' + A'BC' + A'C         # "De Morgan" final term       [note 1]
= A'(B'   + BC'   + C)          # extract common A'            [note 2]
= A'(B'   + B     + C)          # (B and not C) or C -> B or C [note 3]
= A'(    T        + C)          # (not B or B) -> true         [note 4]
= A'(        T       )          # true or anything -> true     [note 4]
= A'                            # X and true -> X              [note 4]

备注：

1/ De Morgans 定律简单地指出 a'b' -> (a+b)' 和 a'+b' -> (ab)'.

2/分配律ax+ay -> a(x+y).

3/ 不确定这条定律是否有名称，但是如果 c 为真，则整个表达式为真。如果 c 为假，则归结为 b and true 或只是 b。这实际上是 b+c。

4/ 这些不言而喻，正如任何优秀的数学家应该告诉你的那样，在正式证明中很少应该不言而喻 :-)

布尔逻辑简化

Boolean logic simplification

logic

boolean