线性回归的梯度下降没有找到最佳参数

Question

我正在尝试实施梯度下降算法，以按照从 Andrew Ng 的课程中获取的以下图像将直线拟合到噪声数据。

首先声明我要拟合的嘈杂直线：

xrange =(-10:0.1:10); % data lenght
ydata  = 2*(xrange)+5; % data with gradient 2, intercept 5
plot(xrange,ydata); grid on;
noise  = (2*randn(1,length(xrange))); % generating noise 
target = ydata + noise; % adding noise to data
figure; scatter(xrange,target); grid on; hold on; % plot a sctter

然后我初始化两个参数，objective函数历史如下：

tita0 = 0 %intercept (randomised)
tita1 = 0 %gradient  (randomised)

% Initialize Objective Function History
J_history = zeros(num_iters, 1);

% Number of training examples
m = (length(xrange));

我继续写梯度下降算法：

for iter = 1:num_iters

    h = tita0 + tita1.*xrange; % building the estimated 

    %c = (1/(2*length(xrange)))*sum((h-target).^2)

    temp0 = tita0 - alpha*((1/m)*sum((h-target)));
    temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target))).*xrange;
    tita0 = temp0;
    tita1 = temp1;

    J_history(iter) = (1/(2*m))*sum((h-target).^2); % Calculating cost from data to estimate

end

最后但同样重要的是，情节。我正在使用 MATLAB 的内置 polyfit 函数来测试拟合的准确性。

% print theta to screen
fprintf('Theta found by gradient descent: %f %f\n',tita0,  tita1(end));
fprintf('Minimum of objective function is %f \n',J_history(num_iters));

%Plot the linear fit
hold on; % keep previous plot visibledesg
plot(xrange, tita0+xrange*tita1(end), '-'); title(sprintf('Cost is %g',J_history(num_iters))); % plotting line on scatter

% Validate with polyfit fnc
poly_theta = polyfit(xrange,ydata,1);
plot(xrange, poly_theta(1)*xrange+poly_theta(2), 'y--');
legend('Training data', 'Linear regression','Linear regression with polyfit')
hold off

结果：

AS 可以看出我的线性回归根本无法正常工作。似乎两个参数（y 截距和梯度）都没有收敛到最优解。

对于我在实施过程中可能做错的任何建议，我们将不胜感激。我似乎无法理解我的解决方案与上面显示的方程式有何不同。谢谢！

Answer 1

您对 theta_1 的实施不正确。 Andrew Ng 的方程式也对 x 求和。 theta_0 和 theta_1 的

temp0 = tita0 - alpha*((1/m)*sum((h-target)));
temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target))).*xrange;

请注意 sum((h-target)) 出现在两个公式中。在求和之前，您需要先乘以 x。我不是 MatLab 程序员，所以我无法修复您的代码。

您在不正确的实施中所做的事情的总体情况是您将截距和斜率的预测值推向同一方向，因为您的更改始终与 sum((h-target)) 成正比。这不是梯度下降的工作方式。

Answer 2

按如下方式更改 tita1 的更新规则：

temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target).*xrange));

另外，还有一点是你真的不需要临时变量。

通过设置

num_iters = 100000
alpha = 0.001

我可以恢复

octave:152> tita0
tita0 =  5.0824
octave:153> tita1
tita1 =  2.0085

线性回归的梯度下降没有找到最佳参数

Gradient Descent for Linear Regression not finding optimal parameters

algorithm

matlab

machine-learning

gradient-descent