C++ 中 n 次单项式的组合

Question

所以我必须生成一个单项式向量。以下是我如何为任意顺序处理最多 3 个维度：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int dim = 3; 
    int order = 2;
    std::vector<std::vector<int>> powers;

    for (int ord = 0; ord <= order; ord++) {
        if (dim == 1) {
            powers.push_back({ord});
        } else if (dim == 2) {
            for (int i = 0; i < ord + 1; i++) {
                powers.push_back({i, ord - i});
            }
        } else if (dim == 3) {
            for (int i = 0; i < ord + 1; i++) {
                for (int j = 0; j < ord + 1 - i; j++) {
                    powers.push_back({i, j, ord - i - j});
                }
            }
        } else if (dim == 4){
            for (int i = 0; i < ord + 1; i++) {
                for (int j = 0; j < ord + 1 - i; j++) {
                    for (int k = 0; k < ord + 1 - i - j; k++) {
                        powers.push_back({i, j, k, ord - i - j - k});
                    }
                }
            }
        } else {
            // "Monomials of dimension >= 4 not supported."
        }
    }
    cout << "Finished!" << endl;
    return 0;
}

现在我的目标是支持 N 维和 N 阶单项式。关于如何将上面的代码扩展到 N 维空间的任何想法？我没有看到一种简单的方法来实现上面的内容。我正在考虑使用组合数学并以某种方式消除额外的项，但我不确定速度。

编辑（预期输出）：对于给定的输入 order = 2 和 dim = 3，预期的输出是（按该顺序不需要）：

对于 order = 1 和 dim = 3:

以及 order = 2 和 dim = 2:

Answer 1

这是一个经典的递归函数：

每次您必须选择当前变量的顺序 x_1（假设为 i），然后您将保留在 n -1 个变量上具有阶数 ord - i 的单项式的所有可能性。

（工作）代码如下：

   std::vector<std::vector<int>> getAllMonomials(int order, int dimension) {
    std::vector<std::vector<int>> to_return;
    if (1 == dimension) {
        for (int i = 0 ; i <= order; i++){
            to_return.push_back({i});
        }
        return to_return;
    }

    for (int i = 0 ; i <= order; i++) {
        std::vector<std::vector<int>> all_options_with_this_var_at_degree_i = getAllMonomials(order - i, dimension - 1);
        for (int j = 0; j < all_options_with_this_var_at_degree_i.size(); j++) {
            all_options_with_this_var_at_degree_i.at(j).insert(all_options_with_this_var_at_degree_i.at(j).begin(), i);
        }
        to_return.insert(to_return.end(), all_options_with_this_var_at_degree_i.begin(), all_options_with_this_var_at_degree_i.end());

    }
    return to_return;
}

Answer 2

Pyrhon递归求解

ideone

def compose(leng, summ, res):
    if leng == 0:
        print(res)
        return
    for i in range(summ + 1):
        compose(leng - 1, summ -i, res + str(i) + " ")

compose(3, 2, "")

C++ 中 n 次单项式的组合

Combinations of n-th degree monomials in C++

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