计算大数时的计数错误（例如 50！）

Question

当我输入小数字时我的代码运行良好，例如 10 选择 2，但是当涉及到 50 选择 10 时，它的结果是错误的，你能告诉我这里出了什么问题吗？

#include <stdio.h>

long long int factorial(int n);
long long int combn(int n, int k);

int main(void) {
    int n = 0;
    int k = 0;
    printf("Enter n and k:\n");
    scanf("%d %d", &n, &k);
    combn(n, k);
}

long long int combn(int n, int k) {
    long long int C = 0;

    C = factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k));
    printf("C %d choose %d = %ld\n", n, k, C);
}

long long int factorial(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    else
        return n * factorial(n - 1);
}

combn(50, 10) 应该是 10272278170.

Answer 1

你溢出了 long long 容量（而且你的代码混合了 long long 和 int 顺便说一句）

你需要计算 50！这是 ~ 3.10^64，远远高于 max int (~2^9) 和 max long long int ~9.10^18。您需要使用一个特殊的大整数库或修改您的算法以不计算溢出值（或不使用大值...）

好像有算法可以计算适合long long而不溢出的组合；看： Calculating the Amount of Combinations

Answer 2

50! 是一个非常大的数字，几乎需要 150 位来表示，long long 数据类型仅提供 64 位。因此，C 无法按照您的方式进行计算；它溢出了。

为此，您可以使用任意精度的算术包库。这种库表示具有可变位数的数字，并提供不会溢出的操作。

gmp -- the Gnu MP Bignum library，就是这样一个库的例子。还有其他人。以下是您可以如何使用 gmp 进行操作。（未调试）。

#include "gmp.h"
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>

int main(int argc, char * argv[]){
  uint n;
  uint m;

  mpz_t nn;
  mpz_t mmn;
  mpz_t mmm;
  mpz_t denom;
  mpz_t result;
  char * str;

  if (argc <= 2){
    printf ("Usage: %s <number> <number> \n", argv[0]);
    return 1;
  }
  n = atoi(argv[1]);
  m = atoi(argv[2]);

  mpz_fac_ui (nn,n);          /* nn = n! */
  mpz_fac_ui (mmn,n-m);       /* mmn = (n-m)! */
  mpz_fac_ui (mmm,m);         /* mmm = m! */

  mpz_mul(denom, mmm, mmn);       /* denom = mmn * mmm */
  mpz_fdiv_q(result, nn, denom);  /* result = nn / denom */

  str =  mpz_get_str (null, 10, const mpz_t result);
  printf ("deal %d from %d: %s combinations\n", n,m, str);
  free (str);
  mpz_clear(nn);
  mpz_clear(mmm);
  mpz_clear(mmn);
  mpz_clear(denom);
  mpz_clear(result);

  return 0;
}

另一种可能性：利用 (n!) / (n-m)! 等于 (m+1 到 n) 整数的乘积这一事实。例如 50!/ 47! 是 48 * 49 * 50。在许多情况下，这应该使您的整数可以用 64 位表示。而且，更好的是，当你进行这种计算机运算时，你不必执行实际的除法运算，因为它不在公式中。

Answer 3

使用默认公式计算 n 为 n 的中等大值选择 k 涉及超出类型 long long 范围的中间结果。有 2 个解决方案可以解决此问题：

使用可以处理如此大数字的 bignum 包
枚举因数并消除除数以将计算减少为一系列乘法。

这是后一种方法的修改版本：

#include <limits.h>
#include <stdio.h>

unsigned long long int combn(int n, int k) {
    if (k < 0 || n < 0 || k > n)
        return 0;

    // minimize computations
    if (k > n - k)
        k = n - k;

    int factors[k];
    // initialize factors of n! / (n - k)!
    for (int i = 0; i < k; i++)
        factors[i] = n - i;

    for (int i = k; i > 1; i--) {
        // find the multiple of i, divide it by i
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            if (factors[j] % i == 0) {
                factors[j] /= i;
                break;
            }
        }
    }

    // compute result
    unsigned long long int C = 1;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        if (C > ULLONG_MAX / factors[i])
            return ULLONG_MAX;
        C = C * factors[i];
    }
    return C;
}

int main(void) {
    int n, k;
    printf("Enter n and k: ");
    if (scanf("%d %d", &n, &k) == 2) {
        unsigned long long C = combn(n, k);
        if (C == ULLONG_MAX)
            printf("overflow\n");
        else
            printf("%d choose %d is %llu\n", n, k, C);
    }
    return 0;
}

输出：

50 choose 10 is 10272278170

计算大数时的计数错误（例如 50！）

Counting error while calculating large number(e.g. 50!)

c

factorial

long-integer