迭代拟合多项式曲线

Question

我想使用以下方法将曲线迭代地拟合到 python 中的数据：

拟合多项式曲线（或任何非线性方法）
舍弃值 > 与曲线平均值的 2 个标准差
重复步骤 1 和 2，直到所有值都在曲线的置信区间内

我可以如下拟合多项式曲线：

vals = array([0.00441025, 0.0049001 , 0.01041189, 0.47368389, 0.34841961,
       0.3487533 , 0.35067096, 0.31142986, 0.3268407 , 0.38099566,
       0.3933048 , 0.3479948 , 0.02359819, 0.36329588, 0.42535543,
       0.01308297, 0.53873956, 0.6511364 , 0.61865282, 0.64750302,
       0.6630047 , 0.66744816, 0.71759617, 0.05965622, 0.71335208,
       0.71992683, 0.61635697, 0.12985441, 0.73410642, 0.77318621,
       0.75675988, 0.03003641, 0.77527201, 0.78673995, 0.05049178,
       0.55139476, 0.02665514, 0.61664748, 0.81121749, 0.05521697,
       0.63404375, 0.32649395, 0.36828268, 0.68981099, 0.02874863,
       0.61574739])
x_values = np.linspace(0, 1, len(vals))
poly_degree = 3

coeffs = np.polyfit(x_values, vals, poly_degree)
poly_eqn = np.poly1d(coeffs)
y_hat = poly_eqn(x_values)

如何执行第 2 步和第 3 步？

Answer 1

按照该过程您似乎不会得到任何有价值的东西，有更好的技术来处理意外数据。谷歌搜索 "outlier detection" 将是一个好的开始。

话虽如此，以下是回答您问题的方法：

首先引入库并获取一些数据：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

Y = np.array([
    0.00441025, 0.0049001 , 0.01041189, 0.47368389, 0.34841961,
    0.3487533 , 0.35067096, 0.31142986, 0.3268407 , 0.38099566,
    0.3933048 , 0.3479948 , 0.02359819, 0.36329588, 0.42535543,
    0.01308297, 0.53873956, 0.6511364 , 0.61865282, 0.64750302,
    0.6630047 , 0.66744816, 0.71759617, 0.05965622, 0.71335208,
    0.71992683, 0.61635697, 0.12985441, 0.73410642, 0.77318621,
    0.75675988, 0.03003641, 0.77527201, 0.78673995, 0.05049178,
    0.55139476, 0.02665514, 0.61664748, 0.81121749, 0.05521697,
    0.63404375, 0.32649395, 0.36828268, 0.68981099, 0.02874863,
    0.61574739])
X = np.linspace(0, 1, len(Y))

接下来绘制数据的初始图：

plt.plot(X, Y, '.')

因为这可以让您了解我们正在处理的内容以及多项式是否适合——简短的回答是这种方法不会对这类数据走得太远

此时我们应该停下来，但为了回答我将继续的问题，主要遵循您的多项式拟合代码：

poly_degree = 5
sd_cutoff = 1 # 2 keeps everything

coeffs = np.polyfit(X, Y, poly_degree)
poly_eqn = np.poly1d(coeffs)

Y_hat = poly_eqn(X)
delta = Y - Y_hat
sd_p = np.std(delta)

ok = abs(delta) < sd_p * sd_cutoff

希望这是有道理的，我使用更高阶的多项式并且只在 1SD 处截止，否则什么都不会被丢弃。 ok 数组包含在 sd_cutoff 标准差

范围内的那些点的 True 值

为了检查这一点，我会再做一个情节。类似于：

plt.scatter(X, Y, color=np.where(ok, 'k', 'r'))
plt.fill_between(
    X,
    Y_hat - sd_p * sd_cutoff, 
    Y_hat + sd_p * sd_cutoff,
    color='#00000020')
plt.plot(X, Y_hat)

这给了我：

所以黑点是要保留的点（即 X[ok] 把这些还给我，np.where(ok) 给你标记）。

你可以玩弄参数，但你可能想要一个尾部较粗的分布（例如学生 T 分布），但是，正如我上面所说，我的建议是使用 Google 进行离群值检测

Answer 2

由于消除点距离预期的解决方案太远，您可能正在寻找 RANSAC (RANdom SAmple Consensus), which is fitting a curve（或任何其他函数）以获取特定范围内的数据，例如 2*STD 的情况。

您可以使用 scikit-learn RANSAC estimator which is well aligned with included regressors such as LinearRegression。对于您的多项式案例，您需要定义自己的回归 class:

from sklearn.metrics import mean_squared_error
class PolynomialRegression(object):
    def __init__(self, degree=3, coeffs=None):
        self.degree = degree
        self.coeffs = coeffs

    def fit(self, X, y):
        self.coeffs = np.polyfit(X.ravel(), y, self.degree)

    def get_params(self, deep=False):
        return {'coeffs': self.coeffs}

    def set_params(self, coeffs=None, random_state=None):
        self.coeffs = coeffs

    def predict(self, X):
        poly_eqn = np.poly1d(self.coeffs)
        y_hat = poly_eqn(X.ravel())
        return y_hat

    def score(self, X, y):
        return mean_squared_error(y, self.predict(X))

然后你就可以使用 RANSAC

from sklearn.linear_model import RANSACRegressor
ransac = RANSACRegressor(PolynomialRegression(degree=poly_degree),
                         residual_threshold=2 * np.std(y_vals),
                         random_state=0)
ransac.fit(np.expand_dims(x_vals, axis=1), y_vals)
inlier_mask = ransac.inlier_mask_

注意，X 变量被转换为二维数组，因为它是 sklearn RANSAC 实现所需要的，并且在我们的自定义中 class 由于 numpy polyfit 函数适用于一维数组，因此变平。

y_hat = ransac.predict(np.expand_dims(x_vals, axis=1))
plt.plot(x_vals, y_vals, 'bx', label='input samples')
plt.plot(x_vals[inlier_mask], y_vals[inlier_mask], 'go', label='inliers (2*STD)')
plt.plot(x_vals, y_hat, 'r-', label='estimated curve')

此外，使用多项式阶数和剩余距离，我得到以下结果，度数 = 4，范围 1*STD

另一种选择是使用高阶回归量，例如 Gaussian process

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
ransac = RANSACRegressor(GaussianProcessRegressor(),
                         residual_threshold=np.std(y_vals))

谈到泛化到 DataFrame，你只需要设置除一列之外的所有列都是特征，剩下的一列是输出，就像这里：

import pandas as pd
df = pd.DataFrame(np.array([x_vals, y_vals]).T)
ransac.fit(df[df.columns[:-1]], df[df.columns[-1]])
y_hat = ransac.predict(df[df.columns[:-1]])

Answer 3

需要三个函数来解决这个问题。首先需要一个线拟合函数来将一条线拟合到一组点：

def fit_line(x_values, vals, poly_degree):
    coeffs = np.polyfit(x_values, vals, poly_degree)
    poly_eqn = np.poly1d(coeffs)
    y_hat = poly_eqn(x_values)
    return poly_eqn, y_hat

我们需要知道点到直线的标准差。此函数计算标准偏差：

def compute_sd(x_values, vals, y_hat):
    distances = []
    for x,y, y1 in zip(x_values, vals, y_hat): distances.append(abs(y - y1))
    return np.std(distances)

最后，我们需要比较点到线的距离。如果点到直线的距离大于标准差的两倍，则该点需要被抛出。

def compare_distances(x_values, vals):    
    new_vals, new_x_vals = [],[]
    for x,y in zip(x_values, vals):    
        y1 = np.polyval(poly_eqn, x)
        distance = abs(y - y1)
        if distance < 2*sd:
            plt.plot((x,x),(y,y1), c='g')
            new_vals.append(y)
            new_x_vals.append(x)
        else:
            plt.plot((x,x),(y,y1), c='r')
            plt.scatter(x,y, c='r')
    return new_vals, new_x_vals

正如您在下图中所看到的，此方法不适用于将线拟合到具有大量异常值的数据。所有的点最终都因为离拟合线太远而被淘汰。

while len(vals)>0:
    poly_eqn, y_hat = fit_line(x_values, vals, poly_degree)
    plt.scatter(x_values, vals)
    plt.plot(x_values, y_hat)
    sd = compute_sd(x_values, vals, y_hat)
    new_vals, new_x_vals = compare_distances(x_values, vals)
    plt.show()
    vals, x_values = np.array(new_vals), np.array(new_x_vals)

迭代拟合多项式曲线

Iteratively fitting polynomial curve

python

numpy

scipy

scikits

scikit-learn