用积分函数拟合数据

Question

当使用curve_fit from scipy.optimize拟合python中的一些数据时，首先定义拟合函数（例如二阶多项式）如下：

def f(x, a, b): return a*x**2+b*x
然后进行拟合popt, pcov = curve_fit(f,x,y)

但现在的问题是，如果函数包含积分（或离散和），如何定义第 1 点中的函数，例如：

x 和 f(x) 的实验数据仍然给出，所以第 2 点是相似的，我想一旦我可以在 python 中定义 f(x)。顺便说一句，我忘了说这里假设 g(t) 具有众所周知的形式，并且包含拟合参数，即多项式示例中给出的参数 a 和 b。任何帮助深表感谢。这个问题实际上应该是一个通用问题，post 中使用的函数只是随机示例。

Answer 1

下面是一个根据积分定义的曲线拟合示例。该曲线是 sin(t*w)/t+p 在 t 从 0 到 Pi 的积分。我们的 x 数据点对应于 w，我们正在调整 p 参数以使数据适合。

import math, numpy, scipy.optimize, scipy.integrate

def integrand(t, args):
    w, p = args
    return math.sin(t * w)/t + p

def curve(w, p):
    res = scipy.integrate.quad(integrand, 0.0, math.pi, [w, p])
    return res[0]

vcurve = numpy.vectorize(curve, excluded=set([1]))

truexdata = numpy.asarray([0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0])
trueydata = vcurve(truexdata, 1.0)

xdata = truexdata + 0.1 * numpy.random.randn(8)
ydata = trueydata + 0.1 * numpy.random.randn(8)

popt, pcov = scipy.optimize.curve_fit(vcurve,
                                      xdata, ydata,
                                      p0=[2.0])
print popt

这将打印出非常接近 1.0 的值，这就是我们在创建 trueydata.

时用作 p 的值

请注意，我们在曲线函数上使用 numpy.vectorize 来生成与 scipy.optimize.curve_fit 兼容的矢量化版本。

Answer 2

有时你很幸运，你能够分析地评估积分。在下面的示例中，h(t)=exp(-(t-x)**2/2) 和二次多项式 g(t) 的乘积从 0 到无穷大。 Sympy 用于评估 Integral 并生成可用于 curve_fit() 的函数：

import sympy as sy
sy.init_printing()  # LaTeX-like pretty printing of IPython


t, x = sy.symbols("t, x", real=True)

h = sy.exp(-(t-x)**2/2)

a0, a1, a2 = sy.symbols('a:3', real=True)  # unknown coefficients
g = a0 + a1*t + a2*t**2

gh = (g*h).simplify()  # the intgrand
G = sy.integrate(gh, (t, 0, sy.oo)).simplify()  # integrate from 0 to infinty

# Generate numeric function to be usable by curve_fit()
G_opt = sy.lambdify((x, t, a0, a1, a2), G)

print(G_opt(1, 2, 3, 4, 5))  # example usage

请注意，通常问题通常是不适定的，因为积分不一定会收敛在解的足够大的邻域内（curve_fit() 假设）。

用积分函数拟合数据

Fitting data with integral function

python

scipy

integral

data-fitting