如何在级数计算的总和中达到最大精度？

Question

我写了一个代码来计算2^(-k)级数的和，但是我不知道如何提高这个计算的准确性。这是我到目前为止所做的。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main()
{
    int i, n;
    float sum = 0;

    cout << "Enter the value of n: ";
    cin >> n;

    for (i=1; i<=n; i++)
        sum += 1.0/pow(2,i);

    cout << "Sum: " << sum;


    return 0;
}

非常感谢任何建议and/or帮助。

Answer 1

嗯，我觉得pow先用底数，指数，像这样，也记得-i:

for (i=1; i<=n; i++)
    sum += pow(2,-i);

声明sum时可以用double代替float，这样更准确（double比float使用更多的位数来表示十进制数，所以精度更高）

Answer 2

要查看更精确的输出，您需要请求比 C++ 默认值更高的精度。一种方法是：

#include <iomanip>
…
   std::cout << std::setprecision(99);

接下来，考虑这段代码：

for (i=1; i<=n; i++)
    sum += 1.0/pow(2,i);

首先，认识到 pow 实施的质量各不相同。 C 和 C++ 标准对浮点运算的质量松懈，一些 pow 实现 return 的结果与数学结果略有不同，例如 pow(10, 3) 等简单情况。由于 pow 的实现方式很频繁，pow(2, i) 可能不会遇到这个问题，但应该考虑一下。

让我们假设 pow(2, i) 准确地计算出正确的结果。我们还假设您的 C++ 实现使用 float 的通用 IEEE-754 基本 32 位二进制浮点格式。如果是这样，则上面计算的总和 没有错误 n ≤ 24.

这是因为每一项 1.0/pow(2, i) 都可以表示为 float 的有效数字（小数部分）中的一位，而 float 有 24 位有效数字，因此可以无误地表示 24 个连续位。提高用于设置输出格式的精度后，显示的 n ≤ 24 的总和应该是准确的。

当 n = 25 时，总和不再适合 float。此时，数学结果将四舍五入到float中最接近的可表示值，一般使用的规则是，如果两个最接近的可表示值之间存在平局，则具有偶数位的将是选择。这意味着结果将准确地为 1。对于所有 n > 24，结果将为 1。

使用 float 类型时，无法将精度提高到此以上。这是因为，在 float 类型中可以表示的所有值中，1 是最接近该系列的精确数学和的值。根本没有更接近的可表示值，因此没有任何计算或更改源代码可以产生更准确的值。

您可以使用 double 而不是 float 来生成更准确的值。如果 IEEE-754 基本 64 位二进制格式用于 double，那么这将产生 n ≤ 53 的精确结果。对于 n > 53，结果将再次为 1 , 和只能通过使用扩展精度算法来改进。

此外，请注意：

float sum = 0;
for (i=1; i<=n; i++)
    sum += 1.0/pow(2,i);

在数学上等同于：

float sum = 1 - pow(2.f, (float) -n);

如何在级数计算的总和中达到最大精度？

How to achieve maximal accuracy in the sum of series calculation?

c++

series

floating-accuracy