为什么偶数 N 比奇数 N 花费的时间更长？

Question

我这里有一些代码可以解决 python 中使用回溯的 n 皇后问题。当我运行它时，赔率总是比偶数花费的时间少得多。当 n 达到 20+ 左右时，这一点尤其明显。有谁知道这是为什么？

import time
global N
N = int(input("Enter N: "))


def display_solution(board):
    print('\n'.join(['\t'.join([str(cell) for cell in row]) for row in 
    board]))


def safe(board, row, col):
    for i in range(col):
        if board[row][i] == 1:
            return False
    for i, j in zip(range(row, -1, -1), range(col, -1, -1)):
        if board[i][j] == 1:
            return False
    for i, j in zip(range(row, N, 1), range(col, -1, -1)):
        if board[i][j] == 1:
            return False
    return True


def solve_help(board, col):
    if col >= N:
        return True

    for i in range(N):
        if safe(board, i, col):
            board[i][col] = 1
            if solve_help(board, col + 1) is True:
                return True
            board[i][col] = 0
    return False


def solve():
    board = [[0 for x in range(N)] for y in range(N)]
    if solve_help(board, 0) is False:
        print("Solution does not exist")
        return False
    display_solution(board)
    return True


start = time.clock()
solve()
end = time.clock()
print(N, "\t", end-start)

我假设这一定与赔率和偶数的对角线不同有关。我也不确定这是针对此问题的所有回溯算法的问题，还是仅针对此特定代码。无论哪种方式，感谢您的帮助。

Answer 1

当第一列中的其中一列发生回溯并且必须尝试下一行时，该算法会花费相当多的时间。将奇数 N 板与 N-1 板进行比较确实表明，偶数板的解决方案通常需要进行更多此类 backtracking/try-next 处理。例如，N=19 的解决方案的左上角如下所示：

前五列的这5个皇后很快就找到了，因为它们是第一个不与前面的皇后发生碰撞的。显然可以放置其他皇后而不必重新考虑这前五个皇后。

对于 N=18，解决方案的同一角如下所示：

注意标有减号的位置。这个看起来很有前途（因为它是 19 板）：它的调查需要相当长的时间才能得出其他皇后不能正确放置的结论。这种早期的失败成本。

因此19板的解比18板的解快

请注意，27 的解决方案比 26 的解决方案花费的时间略长，尽管这并不重要：看起来时间复杂度是 O(2ⁿ)，所以比较不同板尺寸的时间最好在对数 Y 轴上完成：

"work"表示函数safe被执行的次数

这个算法是否总是需要相对更多的时间用于偶数板（与 N+1 板所需的时间相比）是不清楚，但对于这几个棋盘尺寸，它似乎与该算法自然形成的从左上角开始的骑士跳跃有关。请注意此模式如何完美适用于尺寸为 5 和 7 的棋盘：下一个皇后可以坐下而不会干扰先前定位的皇后的第一个位置是 always 解决方案的一部分。而对于尺寸为 4 和 6 的棋盘，甚至任何的解决方案都没有一个角落有皇后，这是该算法的起点。

备选方案

从程序员的角度来看这个问题，有一种补救方法可以使差异（平均）消失：以不同（甚至随机）的顺序选择列。事实证明，采用正常顺序是获得解决方案的效率较低的方法之一。

换档选择

这个算法的一个简单转变，你不考虑前两行，除非所有其他行都失败了，已经大大改变了统计数据：

在 solve_help 中更改为：

for i in range(N):

至：

for i in range(N):
   i = (i + 2) % N

查看现在平均性能如何提高：log(work)/n 的所有度量均低于 1，n=6 除外。而且：现在更频繁地查看 N 的奇数值。

随机选择

for i in random.sample(range(N), N):

下面是这样一个随机运行的结果：

比原来的顺序好多了！当然，你偶尔会得到一个糟糕的统计数据，......因为它是随机的。但平均而言，它的表现（好得多）。

非随机顺序的其他方式可能包括 col 和 N//2 具有不同的系数，例如 i = (i + col*2 + N//2) % N，...等。但请参阅下面的最后评论。

其他备注

我将应用以下优化：跟踪哪些行、前向“对角线”和后向“对角线”已经被占用。您可以为此使用列表或集合。请注意，如果两个单元格的坐标之和相等，则它们位于同一前向对角线中。向后对角线上的单元格的共同点是它们的坐标差相等。这样您就不必每次都在这些行中扫描“1”。

此外，board 可能只是一个列号列表。没有必要存储所有这些零。保留它仅供展示。

最后，有一些简单的方法可以在线性时间内得到解决方案。参见 Wikipedia。

为什么偶数 N 比奇数 N 花费的时间更长？

Why do the Even Ns take longer than the Odd Ns?

python

backtracking

n-queens

备选方案

换档选择

随机选择

其他备注