Gurobi 前缀和优化

Question

考虑以下 Gurobi 模型：

import gurobipy as gb
import numpy as np
N = 100
x = np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
model = gb.Model("ACC")
amp_i_vars = model.addVars(N, vtype=gb.GRB.BINARY, name='ai')
model.setObjective(amp_i_vars.sum(*), gb.GRB.MINIMIZE)
model.addConstrs(gb.quicksum(amp_i_vars[i] for i in range(r+1)) <= x[r] 
                 for r in range(N), "SumConstr")

我们基本上只是试图用尽可能多的位填充 ai，这样直到位置 r 的位的总和永远不会大于 x[r]。

我的问题是 GurobiPy 在通过约束的方式上是否 "smart"，即如果它计算 ai 的前缀总和，或者实际上重新计算每个 ai 的总和=15=]。前一种情况是线性时间，而后者是二次时间。我有一个包含许多这样的总和和约束的 LP，我想知道是否创建一个单独的变量来存储每个序列的前缀和以防止 GurobiPy 重新计算每个约束的总和会更好，但我不知道如果它已经足够聪明，我想必须这样做。

Answer 1

在建模层 gurobipy 将 not "be smart" 并应用您描述的替换，因此它将一个接一个地生成约束，重新计算每个约束的部分和时间。您可以尝试为这些部分和引入辅助变量，但我的猜测是“ dumb" 方法只有在总和非常大时才会引起注意。

Answer 2

您的确切公式有 O(N^2) 个非零值，因此您必须使用 O(N^2) 算法来构建它。您可以避免通过这个更具程序性的循环重新创建表达式。

import gurobipy as grb
import numpy as np
np.random.seed(10)

N = 5000
x = np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
obj = -np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
model = gb.Model("ACC")

# more interesting objective
amp_i_vars = model.addVars(N, vtype=grb.GRB.BINARY, name='ai', obj=obj)
model.update()
cum = grb.LinExpr()
for i, ai in amp_i_vars.items():
    cum += ai
    model.addConstr(cum <= x[i])
model.optimize()

但是，您可以通过添加表示累积和的变量的平行列表并使用递归来构建具有 O(n) 个非零值的等效模型 累积[i] = 累积[i - 1] + x[i]。这也将导致求解速度更快的模型。

import gurobipy as grb
import numpy as np
N = 5000
np.random.seed(10)
x = np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
obj = -np.random.randint(10, high=2*N, size=N)
model = gb.Model("ACC")

# more interesting objective function
amp_i_vars = model.addVars(N, vtype=grb.GRB.BINARY, name='ai', obj=obj)
# since cum_vars are variables, use simple upper bound
cum_vars = model.addVars(N, vtype=grb.GRB.CONTINUOUS, name='cum', ub=x)

prev_cum = 0
for i, (ai, cum) in enumerate(zip(amp_i_vars.values(), cum_vars.values())):
    model.addConstr(cum == prev_cum + ai, name="sum_constr." + str(i))
    prev_cum = cum
model.optimize()

对于 N=5000，求解时间为 0.5 秒，而密集模型为 16 秒。

Gurobi 前缀和优化

Gurobi prefix sum optimization

python

optimization

linear-programming

gurobi

integer-programming