为什么旋转 3D 点云后顶点法线会翻转？
Why do vertex normals flip after rotating 3D point cloulds?
我有两个人脸 3D 点云样本。蓝色点云表示目标面，红色点云表示模板。下图显示目标面和模板面在不同方向对齐（目标面大致沿 x 轴，模板面大致沿 y 轴）。
图一：
鼻子周围的区域如图1所示。
我想以鼻尖为中心旋转我的目标脸（蓝色脸）（我在图1之前将目标转换为模板，以便鼻尖，即centerpt ，因为两个面都叠加在一起）以与模板面（红色面）大致对齐。我使用以下 MATLAB 代码旋转了目标面：
% PCA for the target face
targetFaceptfmt = pointCloud(targetFace); % Convert to point cloud format
point = [templateFace(3522, 1), templateFace(3522, 2), templateFace(3522, 3)]; % The 3522th point in the templateFace is the nasal tip point used as center of rotation later on
radius = 20; % 20mm
[NNTarIndex, NNTarDist] = findNeighborsInRadius(Locationptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the target face
NNTar = select(Locationptfmt, NNTarIndex); % Select the identified points for PCA
[TarVec,TarSCORE,TarVal] = pca(NNTar.Location); % Do PCA for target face using vertices close to the nasal tip
% PCA for the template face
templateFaceptfmt = pointCloud(templateFace); % Convert to point cloud format
[NNTemIndex, NNTemDist] = findNeighborsInRadius( templateFaceptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the template
NNTem = select(templateFaceptfmt, NNTemIndex); % Select the identified points for PCA
[TemVec,TemSCORE,TemVal] = pca(NNTem.Location); % Do PCA for template face using vertices close to the nasal tip
% Rotate target face with nasal tip point as the center of rotation
targetFace_r = R * (targetFace-cenertpt)' + centerpt';
targetFace_new = targetFace_r';
其中 targetFace 和 templateFace 分别包含未旋转的目标面和模板面的坐标。 targetFace_r是目标人脸围绕鼻尖旋转后的坐标，R是通过PCA计算得到的旋转矩阵（旋转公式来源见here），centerpt 是用作旋转中心的鼻尖点。然后我绘制了转置 targetFace_r，即 targetFace_new，每个顶点都添加了法线：
图2：
在旋转之前，目标面和模板面的法线通常指向相似的方向（图1）。旋转后，目标面和模板面都沿 y 轴对齐（这是我想要的），但是，目标面和模板面的法线指向相反的方向。请记住，没有对模板面进行任何更改，我意识到旋转后计算的目标面的 法线被翻转了。但我不知道为什么。 我使用 R 中 Rvcg 包的 checkFaceOrientation 函数来检查沿法线的扩展是否会增加质心大小。模板面返回 TRUE，目标面返回 FALSE，这证实目标面的顶点法线已翻转。
顶点法线在 MATLAB 中计算如下：
TR = triangulation(Faces, Vertices); % Triangulation based on face and vertex information
VN = vertexNormal(TR); % Calculate vertext normal
其中 Faces 包含面信息，即连接列表，Vertices 包含顶点坐标。对于旋转前的目标面、旋转后的目标面和模板面，分别计算顶点法线。我使用相同的 Faces 数据计算旋转目标面前后的顶点法线。
翻转的顶点法线导致一些进一步分析的错误。因此，我必须手动翻转法线，使它们与模板面的法线指向相似。
图3：
图3显示手动翻转法线后，目标面和模板面的法线大致指向相同的方向。
我的问题是为什么旋转后计算的目标面的法线翻转了？在什么情况下 3D 点云的旋转会导致顶点法线翻转？
补充一些可能有用的信息：我得到的旋转矩阵R如下，供大家参考：
0.0473096146726546 0.867593376108813 -0.495018720950670
0.987013081649028 0.0355601323276586 0.156654567895508
-0.153515396665006 0.496001220483328 0.854643675613313
自trace(R) = 1 + 2cos(alpha)以来，我通过acos((trace(R)-1)/2)*180/pi计算了alpha，得到了相对于鼻尖点的旋转角度91.7904。
如 , the direction of your vertex normals will depend on how you've ordered the triangular facets in your Faces matrix. This will follow a right-hand rule 所述，您的手指遵循三角形周围的顶点顺序，拇指指示表面法线方向。这里有一个简单的例子来帮助说明：
Vertices = [0 0; 0 1; 1 1; 1 0]; % Points clockwise around a unit square in x-y plane
Faces = [1 2 3; 1 3 4]; % Two triangular facets, clockwise vertex ordering
TR = triangulation(Faces, Vertices);
VN = vertexNormal(TR)
VN =
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
在此示例中，Vertices 包含 x-y 平面中单位正方形的 4 个顶点，如果您从正 z 向下看，则顺时针排列。 Faces 中定义了两个三角形面，每行中的索引顺序也以顺时针方式沿着顶点进行跟踪。这会导致每个面的 surface 法线指向负 z 方向。当计算 vertex 法线时，它们也指向负 z 方向。
当我们翻转一个三角形的顺序使其点为逆时针时会发生什么？...
Faces = [1 2 3; 1 4 3]; % Second facet is 1 4 3 instead of 1 3 4
TR = triangulation(Faces, Vertices);
VN = vertexNormal(TR)
VN =
0 0 0
0 0 -1
0 0 0
0 0 1
第二个三角形的表面法线现在将指向正z方向。仅由一个三角形（第 2 行和第 4 行）使用的顶点将具有与表面法线匹配的顶点法线，而每个共享的顶点（第 1 行和第 3 行）将具有 0 的顶点法线（两个表面法线抵消） .
这将如何帮助您解决问题？好吧，这很难说，因为我不知道你是如何定义 Faces 和 Vertices 的。但是，如果您确定网格中的 每个 顶点法线指向错误的方向，您可以通过交换 Faces 矩阵中的两列来轻松翻转它们计算法线：
Faces = [1 2 3; 1 3 4]; % Clockwise-ordered vertices
TR = triangulation(Faces(:, [1 3 2]), Vertices); % Change to counter-clockwise
VN = vertexNormal(TR)
VN =
0 0 1 % Normals are now pointing in positive z
0 0 1
0 0 1
0 0 1
如果我理解正确的话，看起来你的旋转矩阵实际上是在编码旋转加反射。如果你的矩阵大约是：
0.04 0.86 -0.49
0.98 0.03 0.15
-0.15 0.49 0.85
则每个单位向量指向正轴的图像为：
x = [ 0.04 0.98 -0.15]
y = [ 0.86 0.03 0.49]
z = [-0.49 0.15 0.85]
但是，如果您对 x 和 y (cross(x, y)) 进行叉积，您将得到大约 [0.49 -0.15 -0.85]，这是 z，这意味着矩阵正在编码旋转和反射。自然地，将网格的顶点乘以反射矩阵会反转其多边形的缠绕顺序，从而产生反转的法线。
在你引用的幻灯片中，它指出生成旋转矩阵的 PCA 方法在 3D 情况下应该只考虑四种不同的轴组合，以确保输出矩阵遵守右手法则。如果检查了所有轴的组合，那么 PCA 将在搜索最佳匹配时同时考虑旋转空间和反射空间。如果是这种情况，并且如果数据中存在一些噪声，使得模板的左半部分与目标的右半部分匹配得稍微好一些，反之亦然，那么 PCA 方法可能会生成一个反射矩阵，如下所示你观察。也许您可能想重新审视如何从 PCA 结果生成 R 的逻辑？
我有两个人脸 3D 点云样本。蓝色点云表示目标面，红色点云表示模板。下图显示目标面和模板面在不同方向对齐（目标面大致沿 x 轴，模板面大致沿 y 轴）。
图一：
我想以鼻尖为中心旋转我的目标脸（蓝色脸）（我在图1之前将目标转换为模板，以便鼻尖，即centerpt ，因为两个面都叠加在一起）以与模板面（红色面）大致对齐。我使用以下 MATLAB 代码旋转了目标面：
% PCA for the target face
targetFaceptfmt = pointCloud(targetFace); % Convert to point cloud format
point = [templateFace(3522, 1), templateFace(3522, 2), templateFace(3522, 3)]; % The 3522th point in the templateFace is the nasal tip point used as center of rotation later on
radius = 20; % 20mm
[NNTarIndex, NNTarDist] = findNeighborsInRadius(Locationptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the target face
NNTar = select(Locationptfmt, NNTarIndex); % Select the identified points for PCA
[TarVec,TarSCORE,TarVal] = pca(NNTar.Location); % Do PCA for target face using vertices close to the nasal tip
% PCA for the template face
templateFaceptfmt = pointCloud(templateFace); % Convert to point cloud format
[NNTemIndex, NNTemDist] = findNeighborsInRadius( templateFaceptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the template
NNTem = select(templateFaceptfmt, NNTemIndex); % Select the identified points for PCA
[TemVec,TemSCORE,TemVal] = pca(NNTem.Location); % Do PCA for template face using vertices close to the nasal tip
% Rotate target face with nasal tip point as the center of rotation
targetFace_r = R * (targetFace-cenertpt)' + centerpt';
targetFace_new = targetFace_r';
其中 targetFace 和 templateFace 分别包含未旋转的目标面和模板面的坐标。 targetFace_r是目标人脸围绕鼻尖旋转后的坐标，R是通过PCA计算得到的旋转矩阵（旋转公式来源见here），centerpt 是用作旋转中心的鼻尖点。然后我绘制了转置 targetFace_r，即 targetFace_new，每个顶点都添加了法线：
图2：
在旋转之前，目标面和模板面的法线通常指向相似的方向（图1）。旋转后，目标面和模板面都沿 y 轴对齐（这是我想要的），但是，目标面和模板面的法线指向相反的方向。请记住，没有对模板面进行任何更改，我意识到旋转后计算的目标面的 法线被翻转了。但我不知道为什么。 我使用 R 中 Rvcg 包的 checkFaceOrientation 函数来检查沿法线的扩展是否会增加质心大小。模板面返回 TRUE，目标面返回 FALSE，这证实目标面的顶点法线已翻转。
顶点法线在 MATLAB 中计算如下：
TR = triangulation(Faces, Vertices); % Triangulation based on face and vertex information
VN = vertexNormal(TR); % Calculate vertext normal
其中 Faces 包含面信息，即连接列表，Vertices 包含顶点坐标。对于旋转前的目标面、旋转后的目标面和模板面，分别计算顶点法线。我使用相同的 Faces 数据计算旋转目标面前后的顶点法线。
翻转的顶点法线导致一些进一步分析的错误。因此，我必须手动翻转法线，使它们与模板面的法线指向相似。
图3：
我的问题是为什么旋转后计算的目标面的法线翻转了？在什么情况下 3D 点云的旋转会导致顶点法线翻转？
补充一些可能有用的信息：我得到的旋转矩阵R如下，供大家参考：
0.0473096146726546 0.867593376108813 -0.495018720950670
0.987013081649028 0.0355601323276586 0.156654567895508
-0.153515396665006 0.496001220483328 0.854643675613313
自trace(R) = 1 + 2cos(alpha)以来，我通过acos((trace(R)-1)/2)*180/pi计算了alpha，得到了相对于鼻尖点的旋转角度91.7904。
如 Faces matrix. This will follow a right-hand rule 所述，您的手指遵循三角形周围的顶点顺序，拇指指示表面法线方向。这里有一个简单的例子来帮助说明：
Vertices = [0 0; 0 1; 1 1; 1 0]; % Points clockwise around a unit square in x-y plane
Faces = [1 2 3; 1 3 4]; % Two triangular facets, clockwise vertex ordering
TR = triangulation(Faces, Vertices);
VN = vertexNormal(TR)
VN =
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
在此示例中，Vertices 包含 x-y 平面中单位正方形的 4 个顶点，如果您从正 z 向下看，则顺时针排列。 Faces 中定义了两个三角形面，每行中的索引顺序也以顺时针方式沿着顶点进行跟踪。这会导致每个面的 surface 法线指向负 z 方向。当计算 vertex 法线时，它们也指向负 z 方向。
当我们翻转一个三角形的顺序使其点为逆时针时会发生什么？...
Faces = [1 2 3; 1 4 3]; % Second facet is 1 4 3 instead of 1 3 4
TR = triangulation(Faces, Vertices);
VN = vertexNormal(TR)
VN =
0 0 0
0 0 -1
0 0 0
0 0 1
第二个三角形的表面法线现在将指向正z方向。仅由一个三角形（第 2 行和第 4 行）使用的顶点将具有与表面法线匹配的顶点法线，而每个共享的顶点（第 1 行和第 3 行）将具有 0 的顶点法线（两个表面法线抵消） .
这将如何帮助您解决问题？好吧，这很难说，因为我不知道你是如何定义 Faces 和 Vertices 的。但是，如果您确定网格中的 每个 顶点法线指向错误的方向，您可以通过交换 Faces 矩阵中的两列来轻松翻转它们计算法线：
Faces = [1 2 3; 1 3 4]; % Clockwise-ordered vertices
TR = triangulation(Faces(:, [1 3 2]), Vertices); % Change to counter-clockwise
VN = vertexNormal(TR)
VN =
0 0 1 % Normals are now pointing in positive z
0 0 1
0 0 1
0 0 1
如果我理解正确的话，看起来你的旋转矩阵实际上是在编码旋转加反射。如果你的矩阵大约是：
0.04 0.86 -0.49
0.98 0.03 0.15
-0.15 0.49 0.85
则每个单位向量指向正轴的图像为：
x = [ 0.04 0.98 -0.15]
y = [ 0.86 0.03 0.49]
z = [-0.49 0.15 0.85]
但是，如果您对 x 和 y (cross(x, y)) 进行叉积，您将得到大约 [0.49 -0.15 -0.85]，这是 z，这意味着矩阵正在编码旋转和反射。自然地，将网格的顶点乘以反射矩阵会反转其多边形的缠绕顺序，从而产生反转的法线。
在你引用的幻灯片中，它指出生成旋转矩阵的 PCA 方法在 3D 情况下应该只考虑四种不同的轴组合，以确保输出矩阵遵守右手法则。如果检查了所有轴的组合，那么 PCA 将在搜索最佳匹配时同时考虑旋转空间和反射空间。如果是这种情况，并且如果数据中存在一些噪声，使得模板的左半部分与目标的右半部分匹配得稍微好一些，反之亦然，那么 PCA 方法可能会生成一个反射矩阵，如下所示你观察。也许您可能想重新审视如何从 PCA 结果生成 R 的逻辑？