为什么我们需要均质化这些载体？

Question

我一直在寻找找到两条线交点的解决方案。我知道这可以通过找到他们的向量积来完成。

我在这里偶然发现了这个例子：

Numpy and line intersections

def get_intersect(a1, a2, b1, b2):
    s = np.vstack([a1,a2,b1,b2])        # s for stacked
    h = np.hstack((s, np.ones((4, 1)))) # h for homogeneous
    l1 = np.cross(h[0], h[1])           # get first line
    l2 = np.cross(h[2], h[3])           # get second line
    x, y, z = np.cross(l1, l2)          # point of intersection
    if z == 0:                          # lines are parallel
        return (float('inf'), float('inf'))
    return (x/z, y/z)

我已经看过这个例子并在几个场景中使用它，它似乎工作得很好。但是，有三件事我不太明白：

为什么向量需要是齐次的（我们用 1 填充列的部分）？
与非齐次解决方案（如果有的话）相比，齐次解决方案有何不同？
为什么我们只检查 Z 轴平行度的结果，而不检查 X 轴和 Y 轴的平行度？

我觉得我遗漏了一些非常明显的东西，但我无法理解它是什么。

Answer 1

供参考，来自维基百科的方程式：

让a1 = (x1, y1), a2 = (x2, y2), b1 = (x3, y3), b2 = (x4, y4).

计算解释

观察链接答案中的前两个 cross-products：

l1 = np.cross(h[0], h[1]) = (x1, y1, 1) ^ (x2, y2, 1)
   = (y1 - y2, x2 - x1, x1*y2 - x2*y1)

l2 = np.cross(h[2], h[3]) = (x3, y3, 1) ^ (x4, y4, 1)
   = (y3 - y4, x4 - x3, x3*y4 - x4*y3)

这两行就是计算上面等式中 6 项不同项的全部内容。最后一个 cross-product:

x, y, z = np.cross(l1, l2)
      x = (x2 - x1) * (x3*y4 - x4*y3) - (x4 - x3) * (x1*y2 - x2*y1)
-->   y = (y3 - y4) * (x1*y2 - x2*y1) - (y1 - x2) * (x3*y4 - x4*y3)
      z = (y1 - y2) * (x4 - y3) - (y3 - y4) * (x2 - x1)

这些数字正好等于维基百科等式中的分子和分母。

像这样一个相当复杂的表达式需要数十条 FPU 指令来计算 term-by-term。

对向量进行均质化允许使用这种 cross-product 方法，该方法可以针对少量 SIMD 指令进行优化——效率更高。

几何解释

假设您将均化向量视为 3D 中的点 space，并将每对与原点连接起来形成两个三角形：

所有 4 个点都在平面上 Z = 1（灰色）。

直线L（绿色）是两个三角形（蓝色+红色）平面的交点，并通过原点O和想要的交点P（黄色）.

三角形的法线由其侧向量的 cross-product 给出。在这种情况下，侧向量仅由 4 个点给出，因为另一个点是原点。在代码中，法线由 l1 和 l2.

给出

平面的一个定义是平面内的所有直线都必须垂直于平面的法线。由于线 L 位于两个三角形的平面内，因此它必须垂直于 l1 和 l2，即它的方向由 np.cross(l1, l2) 给出.

均质化允许一个巧妙的最后一步，它使用 相似三角形 来计算 P:

if z == 0:                          # lines are parallel
    return (float('inf'), float('inf'))
return (x/z, y/z)                   # Px = x / z, Py = y / z

Answer 2

作为对上述答案的轻微修正，使用 3D 叉积计算 2D 线交点几乎是效率最低的。交叉乘积根本不会对 SIMD 进行优化（除非您竭尽全力使用 SOA 数据结构，但即使这样也是一种极其浪费的方法）。最好的方法是使用旧的联立方程。

从定义直线的输入点开始：

line1: [(x1, y1), (x2, y2)]
line2: [(x3, y3), (x4, y4)]

计算一些方向向量：

// 1st direction
u1 = x2 - x1
v1 = y2 - y1
D1 = [u1, v1]

// 2nd direction
u2 = x4 - x3
v2 = y4 - y3
D2 = [u2, v2]

现在让我们将线方程重新表述为射线，并针对这些射线上的任何点得出一个方程：

// coords of a point 'd1' distance along the 1st ray
Px = x1 + d1*u1
Py = y1 + d1*v1

// coords of a point 'd2' distance along the 2nd ray
Px = x3 + d2*u2
Py = y3 + d2*v2

让我们假设直线相交，这意味着两个 P 将是相同的，允许我们声明：

x1 + d1*u1 = x3 + d2*u2
y1 + d1*v1 = y3 + d2*v2

我不会逐一进行，但是 re-arrange 两个关于 d1 的方程，我们得到：

 d1 = x3 + d2*u2 - x1
      ---------------
            u1

 d1 = y3 + d2*v2 - y1
      ---------------
            v1

现在我们有两个 d1 方程，所以让我们做另一个联立方程来得到 d2 的值：

x3 + d2*u2 - x1     y3 + d2*v2 - y1
---------------  =  ---------------
      u1                  v1

重新排列以隔离 d2：

 d2 = u1(y3 - y1) - v1(x3 - x1)
      -------------------------
           v1*u2 - u1*v2

如果 (v1*u2 - u1*v2) 恰好为零，则此方程无解（我们称其为行列式，因为它就是行列式！）。如果行列式不为零，则只需使用上面的等式计算 d2，然后返回到我们之前的一个等式中以找到点值：

Px = x3 + d2*u2
Py = y3 + d2*v2

一些未经测试的 C++ 代码：

bool computeIntersectPoint(
  float x1, float y1,
  float x2, float y2,
  float x3, float y3,
  float x4, float y4,
  float outPoint[2])
{
  // compute direction vectors
  // in some cases, it can be worth 
  // storing the lines as rays as an 
  // optimisation. (avoids 4 subs)
  const float u1 = x2 - x1;
  const float v1 = y2 - x1;
  const float u2 = x4 - x3;
  const float v2 = y4 - x3;

  // check to see if we have a solution
  // 1 mul, 1 fmsub
  float determinant = v1*u2 - u1*v1; 
  if(determinant == 0)
    return false;

  // 2 sub, 1 mul, 1 fmsub
  float temp = u1 * (y3 - y1) - v1 * (x3 - x1);

  // 1 div
  float intersectDistance = temp / determinant;

  // 2 fma
  outPoint[0] = intersectDistance * u2 + x3;
  outPoint[1] = intersectDistance * v2 + y3;

  return true;
}

快速desmos证明：https://www.desmos.com/calculator/gtlmnmzn6l

此时比较两种方法之间的指令数是值得的。 3d 叉积需要 3 个 mult 和 3 个 fmsub 指令（如果 FMA 不可用，则需要 6 mul + 3 sub）。由于我们有其中的 3 个，我们最多：9 个 mul 和 9 个 fmsub 操作。添加 2 个分区，我们得到：

9 mul
9 fmsub
2 div

我发布的方法需要：

1 div
6 sub
4 fma
2 mul

尽管如果您可以将线条存储为射线，则可以节省其中的 4 个潜艇。

为什么我们需要均质化这些载体？

Why do we need to homogenise these vectors?

python

math

geometry

cross-product

line-intersection

计算解释

几何解释