对 Eigen QR 分解感到困惑
Confused about Eigen QR decomposition
我对 Eigen 的 QR 分解感到困惑。我的理解是矩阵 Q
隐式存储为一系列 Householder 变换,矩阵 R
存储为上三角矩阵,并且 R
的对角线包含A
的特征值(至少到阶段,这是我所关心的)。
但是,我编写了以下程序,通过两种不同的方法计算矩阵 A
的特征值,一种使用 Eigen::EigenSolver
,另一种使用 QR
。我知道我的 QR
方法是 return 错误的结果,而 EigenSolver
方法是 return 正确的结果。
我误解了什么?
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <Eigen/Dense>
int main()
{
using Real = long double;
long n = 2;
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> A(n,n);
for(long i = 0; i < n; ++i) {
for (long j = 0; j < n; ++j) {
A(i,j) = Real(1)/Real(i+j+1);
}
}
auto QR = A.householderQr();
auto Rdiag = QR.matrixQR().diagonal().cwiseAbs();
auto [min, max] = std::minmax_element(Rdiag.begin(), Rdiag.end());
std::cout << "\u03BA\u2082(A) = " << (*max)/(*min) << "\n";
std::cout << "\u2016A\u2016\u2082 via QR = " << (*max) << "\n";
std::cout << "Diagonal of R =\n" << Rdiag << "\n";
// dblcheck:
Eigen::SelfAdjointEigenSolver<decltype(A)> eigensolver(A);
if (eigensolver.info() != Eigen::Success) {
std::cout << "Something went wrong.\n";
return 1;
}
auto absolute_eigs = eigensolver.eigenvalues().cwiseAbs();
auto [min1, max1] = std::minmax_element(absolute_eigs.begin(), absolute_eigs.end());
std::cout << "\u03BA\u2082(A) via eigensolver = " << (*max1)/(*min1) << "\n";
std::cout << "\u2016A\u2016\u2082 via eigensolver = " << (*max1) << "\n";
std::cout << "The absolute eigenvalues of A via eigensolver are:\n" << absolute_eigs << "\n";
}
输出:
κ₂(A) = 15
‖A‖₂ via QR = 1.11803
Diagonal of R =
1.11803
0.0745356
κ₂(A) via eigensolver = 19.2815
‖A‖₂ via eigensolver = 1.26759
The absolute eigenvalues of A via eigensolver are:
0.0657415
1.26759
其他信息:
- 从头部克隆的本征:
$ hg log | more
changeset: 11993:20cbc6576426
tag: tip
date: Tue May 07 16:44:55 2019 -0700
summary: Fix AVX512 & GCC 6.3 compilation
在使用 g++-8、g++-9 和 Apple Clang 编译时发生,有和没有 -ffast-math
。我用 Eigen::FullPivHouseholderQR
.
得到了同样的错误结果
我还查看了来源 HouseholderQR.h
,他们通过 m_qr.diagonal().prod()
计算行列式,这让我对使用 [=71] 更有信心=] 正确。从 EigenSolver returns 中获取与 QR.absDeterminant()
.
相同的值的特征值的乘积
下面的代码片段没有return原始矩阵A:
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> R = QR.matrixQR();
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> Q = QR.householderQ();
std::cout << "Q*R = \n" << Q*R << "\n";
我检查过 Q
具有所有必需的属性:Q^-1 = Q^T、Q^TQ = I 和 |det(Q)| = 1.
我还验证了 QR.householderQ().transpose()*QR.matrixQR()
不等于 A
;尽管一栏是正确的而另一栏是错误的。
正如@geza 指出的那样,QR 分解的 R
矩阵(通常)将不包含原始矩阵的特征值,如果是这样的话,生活会太轻松了:)
对于你的另一个问题,如果你想从 Q
和 R
重建 A
你只需要看 QR.matrixQR()
[= 的上三角部分19=]
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic>
R = QR.matrixQR().triangularView<Eigen::Upper>();
除此之外,我建议谨慎使用 auto
和 expression-templates (在你的情况下没有严重错误,除了 Rdiag
至少被评估两次) .
此外,使用 long double
在现代 CPU 上几乎不是一个好主意。首先确保您使用的算法在数值上是稳定的,如果精度确实是一个问题,请考虑使用任意精度浮点数(如 MPFR)。
我对 Eigen 的 QR 分解感到困惑。我的理解是矩阵 Q
隐式存储为一系列 Householder 变换,矩阵 R
存储为上三角矩阵,并且 R
的对角线包含A
的特征值(至少到阶段,这是我所关心的)。
但是,我编写了以下程序,通过两种不同的方法计算矩阵 A
的特征值,一种使用 Eigen::EigenSolver
,另一种使用 QR
。我知道我的 QR
方法是 return 错误的结果,而 EigenSolver
方法是 return 正确的结果。
我误解了什么?
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <Eigen/Dense>
int main()
{
using Real = long double;
long n = 2;
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> A(n,n);
for(long i = 0; i < n; ++i) {
for (long j = 0; j < n; ++j) {
A(i,j) = Real(1)/Real(i+j+1);
}
}
auto QR = A.householderQr();
auto Rdiag = QR.matrixQR().diagonal().cwiseAbs();
auto [min, max] = std::minmax_element(Rdiag.begin(), Rdiag.end());
std::cout << "\u03BA\u2082(A) = " << (*max)/(*min) << "\n";
std::cout << "\u2016A\u2016\u2082 via QR = " << (*max) << "\n";
std::cout << "Diagonal of R =\n" << Rdiag << "\n";
// dblcheck:
Eigen::SelfAdjointEigenSolver<decltype(A)> eigensolver(A);
if (eigensolver.info() != Eigen::Success) {
std::cout << "Something went wrong.\n";
return 1;
}
auto absolute_eigs = eigensolver.eigenvalues().cwiseAbs();
auto [min1, max1] = std::minmax_element(absolute_eigs.begin(), absolute_eigs.end());
std::cout << "\u03BA\u2082(A) via eigensolver = " << (*max1)/(*min1) << "\n";
std::cout << "\u2016A\u2016\u2082 via eigensolver = " << (*max1) << "\n";
std::cout << "The absolute eigenvalues of A via eigensolver are:\n" << absolute_eigs << "\n";
}
输出:
κ₂(A) = 15
‖A‖₂ via QR = 1.11803
Diagonal of R =
1.11803
0.0745356
κ₂(A) via eigensolver = 19.2815
‖A‖₂ via eigensolver = 1.26759
The absolute eigenvalues of A via eigensolver are:
0.0657415
1.26759
其他信息:
- 从头部克隆的本征:
$ hg log | more
changeset: 11993:20cbc6576426
tag: tip
date: Tue May 07 16:44:55 2019 -0700
summary: Fix AVX512 & GCC 6.3 compilation
在使用 g++-8、g++-9 和 Apple Clang 编译时发生,有和没有
-ffast-math
。我用Eigen::FullPivHouseholderQR
. 得到了同样的错误结果
我还查看了来源
HouseholderQR.h
,他们通过m_qr.diagonal().prod()
计算行列式,这让我对使用 [=71] 更有信心=] 正确。从 EigenSolver returns 中获取与QR.absDeterminant()
. 相同的值的特征值的乘积
下面的代码片段没有return原始矩阵A:
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> R = QR.matrixQR();
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> Q = QR.householderQ();
std::cout << "Q*R = \n" << Q*R << "\n";
我检查过
Q
具有所有必需的属性:Q^-1 = Q^T、Q^TQ = I 和 |det(Q)| = 1.我还验证了
QR.householderQ().transpose()*QR.matrixQR()
不等于A
;尽管一栏是正确的而另一栏是错误的。
正如@geza 指出的那样,QR 分解的 R
矩阵(通常)将不包含原始矩阵的特征值,如果是这样的话,生活会太轻松了:)
对于你的另一个问题,如果你想从 Q
和 R
重建 A
你只需要看 QR.matrixQR()
[= 的上三角部分19=]
Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic>
R = QR.matrixQR().triangularView<Eigen::Upper>();
除此之外,我建议谨慎使用 auto
和 expression-templates (在你的情况下没有严重错误,除了 Rdiag
至少被评估两次) .
此外,使用 long double
在现代 CPU 上几乎不是一个好主意。首先确保您使用的算法在数值上是稳定的,如果精度确实是一个问题,请考虑使用任意精度浮点数(如 MPFR)。