为什么两个具有不同基础的 lm log 模型会产生相同的预测？

Question

我正在尝试使用 lm() 和 predict() 函数预测值，两个不同的函数产生相同的值

考虑 data.frame

d <- structure(list(sample_number = 1:9, 
                    cumSum = c(200.903, 296.329, 370.018, 431.59, 485.14, 533.233, 576.595, 616.536, 654)), 
                    class = "data.frame", row.names = c(NA, 9L))

我正在制作两个不同底座的独立模型。型号其实不一样

lmEBase2 <- lm(cumSum~log(sample_number, base = 2),data=d)
lmEBase3 <- lm(cumSum~log(sample_number, base = 3),data=d)

然而，预测是一样的

logPredBase2 <- predict(lmEBase2, newdata=data.frame(sample_number=1:20))
logPredBase3 <- predict(lmEBase3, newdata=data.frame(sample_number=1:20))

plot  (d$sample_number, d$cumSum, xlim = c(0, 20), ylim = c(0, 1000), type = "b")
lines (1:20, logPredBase2)
lines (1:20, logPredBase3, col = "red")

为什么？

我希望不同对数基数的对数曲线形状不同，如维基百科中所示

https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm

Answer 1

当我们做线性回归时，我们用下面的公式拟合一条直线

$y = a + bx$

其中

$a = \frac{\sum{y}\sum{x^2} - \sum{x}\sum(xy)}{n\sum{x^2}-(\sum{x})^2}$

$a = \frac{\sum{y}\sum{(\log_2{x})^2} - \sum{\log_2{x}}\sum(\log_2(x)y)}{n\sum{\log_2{x}^2}-(\sum{\log_2{x}})^2}$

$a = \frac{(\frac{1}{\log_3{2}})^2[\sum{y}\sum{(\log_3{x})^2} - \sum{\log_3{x}}\sum(\log_3(x)y)]}{(\frac{1}{\log_3{2}})^2[n\sum{\log_3{x}^2}-(\sum{\log_3{x}})^2]}$

$a = \frac{\sum{y}\sum{(\log_3{x})^2} - \sum{\log_3{x}}\sum(\log_3(x)y)}{n\sum{\log_3{x}^2}-(\sum{\log_3{x}})^2}$

这证明截距相等的原因。

同样，

$b = \frac{n(\sum{xy})-\sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2}-(\sum{x})^2}$

$b = \frac{n(\sum{\log_2(x)y})-\sum{\log_2(x)}\sum{y}}{n\sum{\log_2{x}^2}-(\sum{\log_2{x}})^2}$

$b = \frac{\frac{1}{\log_3{2}}[n\sum{\log_3(x)y})-\sum{\log_3(x)}\sum{y}]}{(\frac{1}{\log_3{2}})^2[n\sum{\log_3{x}^2}-(\sum{\log_3{x}})^2]}$

$b = \frac{\log_3{2}[n\sum{\log_3(x)y})-\sum{\log_3(x)}\sum{y}]}{n\sum{\log_3{x}^2}-(\sum{\log_3{x}})^2}$

这就是为什么 229.4*log(2,base = 3) = 144.7 其中 229.4 是第二次拟合的系数，144.7 是第一次拟合的系数。并且截距相等。

这解释了执行的两个回归是如何相关的。

现在如果 Fit1 是，

$y = a + b\log_2{x}$

而 Fit 2 是，

$y = a +(\log_3{2}) b\log_3{x}$

再次利用基数的变化可以看出Fit2等于Fit1

因为我们只用了基数的变化，所以不管我们用什么基数，所有的拟合都是一样的。

为什么两个具有不同基础的 lm log 模型会产生相同的预测？

Why are two lm log models with different bases produce the same predictions?

r

lm