不理解 Monoid 定义中的态射符号

Question

我试图从范畴论的角度理解 Monoid 是什么，但我对用来描述它的符号有点困惑。这是维基百科：

In category theory, a monoid (or monoid object) (M, μ, η) in a monoidal category (C, ⊗, I) is an object M together with two morphisms

μ: M ⊗ M → M called multiplication,

η: I → M called unit

我的困惑是关于态射符号。为什么二元运算 ⊗ 是态射符号的一部分？我对态射的理解是它是一种可以从一种类型映射到另一种类型（域到辅域）的函数，比如M → M。为什么操作 ⊗ 是定义中域的一部分？第二个困惑是关于I。为什么 I 是域？ Monoid 中根本没有 I 对象。它只是对象的一个中性元素 M.

我明白Monoid是一个范畴，有一个对象，一个恒等态射，一个定义在这个对象上的二元运算，但是符号让我觉得我不明白什么。

M ⊗ M 是否与笛卡尔积有某种关系，因此态射的域定义为 M x M?

编辑： 我在 Mathematics Stack Exchange.

上的问题得到了非常有用的答案

Answer 1

Is M ⊗ M some how related to cartesian product, so domain of the morphism is defined as M x M ?

没错。更具体地说，我们通过选择 Hask（类别所有 Haskell 类型作为对象，所有 Haskell 函数作为态射）作为 C，(,)（对类型构造函数）作为 ⊗，()（单位类型）为I。 μ和η的签名，翻译成Haskell，然后变成：

μ :: (M, M) -> M
η :: () -> M

通过柯里化 μ，并利用 () -> M 函数如何 one-to-one 对应于 M 值（所有这些看起来像 \() -> m 对于某些 m)，我们得到熟悉的 Monoid 方法：

mappend :: M -> M -> M
mempty :: M

请注意，分类定义远比 Monoid 更为笼统。例如，我们可能会继续在 Hask 中工作，同时将 (,) 和 () 替换为它们的对偶 Either 和 Void，从而得到:

μ :: Either A A -> A
η :: Void -> A

每个Haskell类型都是一个幺半群以这种特殊方式（μ是either id id，并且η是absurd).

另一个例子是 C 是 Haskell Functors 的类别（它们之间有自然转换——我将写为 type f ~> g = forall a. f a -> g a -- 作为态射), Compose as ⊗, and Identity 作为 I:

-- Note the arrows here are ~>, and not ->
μ :: Compose M M ~> M
η :: Identity ~> M

这两个一般写成：

-- "Inlining" the definitions of Compose, Identity, and ~>
join :: M (M a) -> M a
return :: a -> M a

换句话说，Monad 是 Functor 类别中的幺半群（它是 Hask 特定版本 "a monad is a monoid in the category of endofucntors").值得一提的是，与另一个示例一样，这并不是将幺半群从该类别中取出的唯一方法（请参阅的最后一段以获取指针——实际上，其余部分可能是相关阅读，因为它讨论了幺半群类别的概念）。

不理解 Monoid 定义中的态射符号

Don't understand notation of morphisms in Monoid definition

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