仅使用线函数绘制科赫曲线

Question

我正在尝试使用基本的三角转换绘制科赫曲线（线）。

我不知道新生成的峰值点的正确角度是多少。

这是我的逻辑：

给定线的起点、线的角度和每段的长度，创建此方案。

创建好方案后，将每条子线的起点作为新的科赫曲线，重复上述步骤

我怀疑问题出在点 'pt' 角度值上。

/* Angle for turning downwards after the peak point */
float angle = 2*PI - PI/6;

void koch(Point2D start, float alpha, int d, int noi) {

  Point2D p1 = new Point2D(start.x + d*cos(alpha), start.y + d*sin(alpha));
  Point2D pt = new Point2D(start.x + d*sqrt(3)*cos(alpha+PI/6), start.y + d*sqrt(3)*sin(alpha+PI/6));
  Point2D p2 = new Point2D(start.x + 2*d*cos(alpha), start.y + 2*d*sin(alpha));
  Point2D p3 = new Point2D(start.x + 3*d*cos(alpha), start.y + 3*d*sin(alpha));

  line(start.x, start.y, p1.x, p1.y);
  line(p1.x, p1.y, pt.x, pt.y);
  line(pt.x, pt.y, p2.x, p2.y);            
  line(p2.x, p2.y, p3.x, p3.y);

  if(noi != 0) {
    koch(start, alpha, d/3, noi-1);

    koch(p1, alpha + PI/3, d/3, noi-1);

    koch(pt, angle, d/3, noi-1);         //Problem is here i suspect

    koch(p2, alpha, d/3, noi-1);

  } 

  return;

}

以 alpha 为 PI/6 且 noi 为 2 调用此函数我得到：

我想要这样的东西：

Answer 1

据我所知基本的科赫曲线是从一条直线开始，将step的长度一分为三，中间放一个等边三角形：

如果您感兴趣，可以使用不同的变体，但对于基本的科赫曲线，您可以从绘制的 p1, p2, p3, pt and start 个点中的任意两个点开始，然后分别计算其余点。在每次迭代中，您可以更深入一层。

Answer 2

我不愿意回答，因为我没有在 Unity 中编码，但几天后你的问题仍然没有任何有效答案，这里是我的：

我没有在 turtle 图形代码中看到我期望的内容。参见：

并在代码中查找 turtle_draw。这就是我所期望的：

初始字符串

海龟分形由包含海龟命令的字符串表示。通常的命令是：
- f按预定步骤前进
- l 在你的情况下按预定角度左转 (CCW) 60 deg
- r 按您的情况按预定角度右转 (CW) 60 deg
对于科赫雪花，你应该从三角形开始，所以 "frrfrrf" 科赫曲线从单线开始 "f"。
iteration/recursion

对于分形的每个 iteration/recursion 级别，您应该将每个直线命令 f 替换为三角形凹凸特征 "flfrrflf"（确保最后一个方向与原始 f 命令）。由于三角形的大小增加了三倍，您应该将 f 运动的大小除以 3 以保持相同的比例 ...
渲染字符串

简单地处理结果字符串的所有字符并渲染这些行。有两种方法可以处理旋转。要么记住方向角并通过旋转角度 inc/dec 并计算线作为极坐标增量（参见下面的代码），要么以 2D（或更高维度）向量的形式具有方向并在其上应用旋转公式（见上面的link）。

这里是科赫雪花的小C++/VCL例子：

//---------------------------------------------------------------------------
#include <vcl.h>
#include <math.h>
#pragma hdrstop

#include "win_main.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
Graphics::TBitmap *bmp=new Graphics::TBitmap;
int xs,xs2,ys,ys2,n=0;
AnsiString str;
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
void turtle(TCanvas *scr,float x,float y,float a,float dl,AnsiString s)
    {
    int i;
    char c;
    float da=60.0*M_PI/180.0;
    scr->MoveTo(x,y);
    for (i=1;i<=s.Length();i++)
        {
        c=s[i];
        if (c=='f')
            {
            x+=dl*cos(a);
            y+=dl*sin(a);
            scr->LineTo(x,y);
            }
        if (c=='l') a-=da;
        if (c=='r') a+=da;
        }
    }
//---------------------------------------------------------------------------
AnsiString replace(AnsiString s0,char find,AnsiString replace)
    {
    int i;
    char c;
    AnsiString s="";
    for (i=1;i<=s0.Length();i++)
        {
        c=s0[i];
        if (c==find) s+=replace;
        else s+=c;
        }
    return s;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void draw()
    {
    str="frrfrrf"; // initial string
    for (int i=0;i<n;i++) str=replace(str,'f',"flfrrflf"); // n times replacement

    bmp->Canvas->Brush->Color=0x00000000; // just clear screen ...
    bmp->Canvas->FillRect(TRect(0,0,xs,ys));
    bmp->Canvas->Pen  ->Color=0x00FFFFFF; // and some info text
    bmp->Canvas->Font ->Color=0x00FFFFFF;
    bmp->Canvas->TextOutA(5,5,AnsiString().sprintf("n:%i",n));
    float nn=pow(3,n),a;
    a=xs; if (a>ys) a=ys; a=0.75*a/nn;

    turtle(bmp->Canvas,xs2-(0.5*nn*a),ys2-(0.33*nn*a),0.0,a,str); // render fractal
    Form1->Canvas->Draw(0,0,bmp); // swap buffers to avoid flickering
    }
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner) : TForm(Owner)
    {
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormDestroy(TObject *Sender)
    {
    delete bmp;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormResize(TObject *Sender)
    {
    bmp->Width=ClientWidth;
    bmp->Height=ClientHeight;
    xs=ClientWidth;
    ys=ClientHeight;
    xs2=xs>>1;
    ys2=ys>>1;
    draw();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormPaint(TObject *Sender)
    {
    draw();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::FormMouseWheel(TObject *Sender, TShiftState Shift, int WheelDelta, TPoint &MousePos, bool &Handled)
    {
    if (WheelDelta<0) if (n<8) n++;
    if (WheelDelta>0) if (n>0) n--;
    Handled=true;
    draw();
    }
//---------------------------------------------------------------------------

忽略 VCL 东西。这里重要的是：

void turtle(TCanvas *scr,float x,float y,float a,float dl,AnsiString s)

在 canvas scr 上呈现字符串 s（使用 VCL 封装的 GDI），其中 x,y 是起始位置 a 是起始方向角 [rad] 和 dl 是行的大小。
AnsiString replace(AnsiString s0,char find,AnsiString replace)

用作为新字符串返回的 replace 模式替换 s0 中的任何 find 字符。
void draw()

计算和渲染分形

这里有几张截图：

现在，当我查看您的代码时（只是快速浏览一下，因为我懒得深入分析您的代码），您正在直接生成点，而无需增量步骤。相反，您有点像 hard-coding 三角形凹凸特征，如果没有巧妙的索引技术，该特征将无法在下一级分形递归中正常工作。在您的情况下，即使在相同级别的递归中它也会停止正常工作（在下一行，因为它的方向不同并且您没有旋转而是 hard-coding 功能）。

仅使用线函数绘制科赫曲线

Drawing koch curves only using line function

algorithm

processing

recursion

drawing

fractals