使用 Matlab 或 Matlab 符号工具查找约束边界变量的函数的最大值？

Question

我目前正在求解方程，我需要找到一个函数的最大值。

等式是

v = sqrt(u^2+2*a*s);

其中 0.1 <= a <= 1.5 和

u = 2.75;
s = 3.194;

我必须求解一系列方程，每次我都有一个变量不等式。我想找出v的最大值和a对应的值。

Answer 1

方法 1：数值（但天真）
此方法使用带有矢量化的 anonymous function，在可能的 a 范围内对 v 进行数值计算，步长（a 中的精度）为 0.01。

根据所需的精度，可以简单地减少 stepsize，直到答案收敛（停止变化）在公差范围内。

% MATLAB R2017a    
u = 2.75;
s = 3.194;
fh =@(a) sqrt(u.^2 + 2.*a.*s);

aLB = 0.1;
aUB = 1.5;
stepsize = 0.01;       % Reduce until your answer converges (stops changing)
a = aLB:stepsize:aUB;

v = fh(a);
[v_max, ind] = max(v)      % v_max = 4.1406
a(ind)                     % a(ind) = 1.5000

方法 2：数值
此方法使用线性惩罚将约束 aLB <= a <= aUB 添加到 objective 函数中，以使用 fminsearch 进行数值优化。请注意，fminsearch 需要对 a 进行初始猜测，并且必须对 objective 函数进行向量化。

当 objective 函数是凸函数（超过 a）时，这很有效。如果 objective 函数不是凸函数，那么一种方法是从不同的起点多次执行此操作，然后将最佳答案作为您的 "best answer found so far."

由于我们在这里最大化而fminsearch只最小化，我们引入负号并最小化。至于惩罚函数，我们本可以将其二次化或增加权重，但我们知道 a 的可行范围，因此这里不需要这种方法。

f2h =@(a) -fh(a) + abs(a-aLB).*(a < aLB) + abs(a-aUB).*(a > aUB);
[a_best, v_max_neg] = fminsearch(f2h,1)
v_max = -vmax_neg

你可以看到 objective 函数是凹的（尽管二阶导数也会显示这一点）。所以否定它给出了一个凸函数，这意味着 fminsearch 返回的局部解决方案（最优）也将是全局解决方案。

Answer 2

fminbnd 查找函数 minimum
因为你正在寻找最大尝试 最小化你的函数

u = 2.75;
s = 3.194;
lb = 0.1;
ub = 1.5;
v =@(a) -1*sqrt(u.^2 + 2.*a.*s);
[maximum_a,maximum_v]  = fminbnd(v,lb,ub);
maximum_v = -1*maximum_v ;
%% maximum_a = 1.5
%% maximum_v =4.1405

使用 Matlab 或 Matlab 符号工具查找约束边界变量的函数的最大值？

Find maximum value of a function for a constrained boundary variable using Matlab or Matlab symbolic tool?

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