射线界平面相交

Question

我正在尝试在空闲时间编写光线追踪器。目前正在尝试做射线 - 有界平面相交。

我的程序已经在处理无限平面了。我正在尝试计算非无限平面的数学。尝试 google，但所有资源都只讨论无限平面。

我的平面有一个角点（称为位置），两个向量（u 和 v）从该点延伸（它们的长度对应于边的长度）。光线有起点和方向。

首先我用公式

计算与无限平面的交点

t = normal * (position - origin) / (normal * direction)

法线计算为 u 和 v 的叉积。然后用公式

origin + direction * t

我得到交点本身。

下一步是检查这个点是否在矩形的边界内，这就是我遇到问题的地方。

我的想法是获取从平面角延伸到交点的相对向量intersection - position，然后将其转换为新的u、法线和v基础，然后检查长度是否的转换向量比 u 和 v 向量短。

bool BoundedPlane::intersect(const Vec3f &origin, const Vec3f &direction, float &t) const {
    t = normal * (position - origin) / (normal * direction);
    Vec3f relative = (origin + direction * t) - position;

    Mat3f transform{
        Vec3f(u.x, normal.x, v.x),
        Vec3f(u.y, normal.y, v.y),
        Vec3f(u.z, normal.z, v.z)
    };

    Vec3f local = transform.mul(relative);
    return t > 0 && local.x >= 0 && local.x <= u.x && local.z <= 0 && local.z <= v.z;

}

最后我检查 t 是否大于 0，这意味着交点在相机前面，以及向量的长度是否在边界内。这给了我一条奇怪的线：

。

平面应该像这样出现在球体下方：

（如果数字正确，这使用手动检查以查看它是否正确显示）。

我不确定我做错了什么，以及是否有更简单的方法来检查边界。提前致谢。

编辑1：

我将变换矩阵计算移到了构造函数中，所以现在交集测试是：

bool BoundedPlane::intersect(const Vec3f &origin, const Vec3f &direction, float &t) const {
    if (!InfinitePlane::intersect(origin, direction, t)) {
        return false;
    }

    Vec3f local = transform.mul((origin + direction * t) - position);

    return local.x >= 0 && local.x <= 1 && local.z >= 0 && local.z <= 1;
}

变换成员是变换矩阵的逆。

Answer 1

我可以建议另一种方法吗？考虑有原点的框架 position 和基础向量

u = { u.x, u.y, u.z }  
v = { v.x, v.y, v.z }  
direction = { direction.x, direction.y, direction.z}

第一步：形成矩阵

M = {
      {u.x,  v.x,  direction.x},
      {u.y,  v.y,  direction.y},
      {u.z,  v.z,  direction.z} 
    }

第 2 步： 计算向量 w，它是 3 x 3 线性方程组

的解

M * w = origin - position，即

w = inverse(M) * (origin - position);

确保direction与u, v不共面，否则无交集，inverse(M)不存在。

步骤 3： 如果 0.0 <= w.x && w.x <= 1.0 && 0.0 <= w.y && w.y <= 1.0 则直线与向量 u, v 所张成的平行四边形相交，交点为

w0 = { w.x, w.y , 0 };

intersection = position + M * w0;

否则，直线不与向量 u, v

所张成的平行四边形相交

这个算法的思路是考虑(non-orthonormal)帧position, u, v, direction。然后矩阵 M 改变了这个新帧坐标中的所有内容。在这个框架中，线是垂直的，平行于 "z-" 轴，点 origin 的坐标是 w，通过 w 的垂直线与平面相交于 w0。

编辑 1： 这是 3x3 矩阵逆的模板公式：

若原始矩阵M为

a  b  c

d  e  f

g  h  i

逆是

(1 / det(M)) * { 
                 {e*i - f*h,     c*h - b*i,     b*f - c*e},

                 {f*g - d*i,     a*i - c*g,     c*d - a*f},

                 {d*h - e*g,     b*g - a*h,     a*e - b*d},
                }

其中

det(M) = a*(e*i - f*h) + b*(f*g - d*i) + c*(d*h - e*h)

是M的行列式

所以反演算法可以如下：

给定

M = {
      {a,  b,  c},
      {d,  e,  f},
      {g,  h,  i},
    }

计算

inv_M = { 
           {e*i - f*h,     c*h - b*i,     b*f - c*e},

           {f*g - d*i,     a*i - c*g,     c*d - a*f},

           {d*h - e*g,     b*g - a*h,     a*e - b*d},
         };

计算

det_M = a*inv_M[1][1] + b*inv_M[2][1] + c*inv_M[3][1];

Return M的逆矩阵

inv_M = (1/det_M) * inv_M;

编辑 2： 让我们尝试另一种方法来加快速度。

第 1 步： 对于由点 position 和两个向量 u 和 v 确定的每个平面，预先计算以下内容数量：

normal = cross(u, v); 

u_dot_u = dot(u, u);

u_dot_v = dot(u, v);

v_dot_v = dot(v, v); // all these need to be computed only once for the u and v vectors

det = u_dot_u * v_dot_v - u_dot_v * u_dot_v; // again only once per u and v

第 2 步： 现在，对于给定的点 origin 和方向 direction 的线，和以前一样，计算交点 int_point 平面由 u 和 v:

t = dot(normal,  position - origin) / dot(normal, direction);

int_point = origin + t * direction;

rhs = int_point - position;

步骤 3： 计算器

u_dot_rhs = dot(u, rhs);

v_dot_rhs = dot(v, rhs);

w1 = (v_dot_v * u_dot_rhs - u_dot_v * v_dot_rhs) / det;

w2 = (- u_dot_v * u_dot_rhs + u_dot_u * v_dot_rhs) / det;

第 4 步：

if (0 < = w1 && w1 <= 1 && 0 < = w2 && w2 <= 1 ){
   int_point is in the parallelogram;
}
else{
   int_point is not in the parallelogram;
}

所以我在这里所做的基本上是找到线 origin, direction 与 position, u, v 给出的平面的交点，并将自己限制在平面内，这让我可以在 2D 中工作，而不是比3D。我代表

int_point = position + w1 * u + w2 * v;

rhs = int_point - position = w1 * u + w2 * v

并通过 dot-multiplying 使用基向量 u 和 v 找到 w1 和 w2，这导致 2x2 线性系统，我直接解决。

射线界平面相交

Ray-bounded plane intersection

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intersection

linear-algebra