求解递归函数的递归关系

Question

我需要为以下伪代码的最坏情况分析创建并求解递归关系。我正在计算添加的数字（不包括 for 循环计数器）作为我的基本操作。我假设 n=2^k.

这是我取得的进步... 基本情况： T(n<=4) = 1

W(n)=W(2^k)=计算答案的加法+下一次递归的加法+for循环中的加法 W(2^k) = 2 + W(2^(k-2)) + (2^k) - 2 = W(2^(k-2)) + (2^k)

我使用反向替换并得到以下递归关系...

第j次递归调用 W(2^k) = W(2^(k-2j)) + (2^k) + sum(t=1,j,2^(k-2(t-1)))

我知道我可以简化它，因为我采用 W(2^(k-2j)) = W(4) 并求解 j 以查看代码需要多少递归步骤。在这种情况下，j=(k/2) - 1。减少重复给了我...

W(2^k) = 1 + (2^k) + sum(t=1,j,2^(k-2(t-1))).

减少总和使我...

W(2^k) = 1 + (2^k) + (2^k)*(2^2)*sum(t=1,j,2^(-2t)) 或

W(n) = 1 + n + 4n*sum(t=1,j,2^(-2t))

我无法简化的是求和。在讲座中，我们可能会有 sum(i=1,n,2^i) 的求和，即 2^(n+1)-1，但这次不同。

int function calc(int n) {
   int num,answer;
   if(n<=4) {return n+10;}
   else {
     num=calc(n/4);
     answer=(num+num+10);
     for(int i=2;i<=n-1;i++) {
         answer=answer+answer;
     }
     return answer;
  }
}

如有任何帮助，我们将不胜感激。这个任务今晚到期。谢谢

Answer 1

问题的时间复杂度是T(n) = T(n/4) + n。术语 n 可能意味着 \Theta(n)。因此，T(n) = n + n/4 + n/4^2 + ... + n/(4^log_4(n)) = n(1 + 1/4 + ... + 1/n) = \Theta(n)。请注意 lim_{n\to \infty} 1 + 1/4 + ... + 1/4^log_4(n) = 4/3 这是一个常数。

Answer 2

T(n) = T(2^k) // 根据假设
T(n) = T(n/4) + n // 是递归关系
T(2^k) = T(2^(k-2)) + (2^k) // 重写
T(2^k) = T(2^(k-2j)) + (2^k)*SUM(i=0;j-1;(1/4)^i) // 是迭代 j
T(4) = T(2^(k-2j)) = 1 // 递归结束时，到达base case，只加1次
2^2 = 2^(k-2j) // 重写并删除 T
2=k-2j // 去掉公共碱基
j=(k/2)-1 // 求解第 j 次迭代
注意：迭代不能有小数，所以j=CEILING((k/2)-1)
SUM(i=0;j-1;(1/4)^i) = (1-(1/4)^j)/(1-(1/4))
上面的几何和和变换证明，见下面的 wiki link
将j代入CEILING((k/2)-1)，求和为...
总和 = (1-(1/4)^(上限((k/2)-1)))/(1-(1/4))
最后，T(2^k) = 1 + (2^k)*SUM
根据输入n，T(n) = 1 + (n*SUM)
这个公式适用于所有 k>=1

正在测试几个值...

k=1, T(2) = 1 + (2*0) = 1 // 我们知道这是真的因为 T(2) 是一个基本情况
k=2, T(4) = 1 + (4*0) = 1 // 我们知道这是真的因为 T(4) 是一个基本情况
k=3, T(8) = 1 + (8*1) = 9 // 通过递推公式，T(8) = T(2) + 8 = 9, true
k=4, T(16) = 1 + (16*1) = 17 // 通过递推公式，T(16) = T(4) + 16 = 17, true
k=5, T(32) = 1 + (32*1.25) = 41 // 通过递推公式，T(32) = T(8) + 32, T(8) = 9, 32+ 9=41 真

求几何和 https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

求解递归函数的递归关系

Solving a recurrence relation for a recursive function

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