不正确的特征向量，但通过 python 的 numpy 的 QR 算法正确的特征值

Question

我做了一个很简单的二维码算法代码，returns特征值和特征向量。在许多情况下，它运作良好。但是，在某些情况下，尽管特征值是正确的，但它 returns 不正确的特征向量。

例如，一个矩阵： [[52,30,49,28],[30,50,8,44],[49,8,46,16],[28,44,16,22]], 该过程 returns 更正特征值和特征向量。但是，在以下情况下： [[1,-2,0,5],[0,7,1,5],[0,4,4,0],[0,0,0,2]], 它 returns 具有正确特征值的不正确特征向量。我通过 'eigh' 函数检查了正确的值，所有正确的特征值和特征向量都是实数。所以，这不是复数的问题。我不明白为什么会这样。

import numpy as np 

def process(self, mat: List[List[float]]):
    check = True
    a = mat[:]
    residual = 0.00001
    eigenValues = []
    eigenVectors = np.eye(len(mat))

    while check:
        check = False
        q, r = np.linalg.qr(a)
        a = np.dot(r, q)
        eigenVectors = np.dot(eigenVectors, q)

        for i in range(len(mat)):
            for j in range(i):
                if abs(a[i][j]) > residual: check = True

    for i in range(len(a)): eigenValues.append(a[i][i])

    print(eigenValues) #[1.0, 8.000000054834647, 2.9999999451653365, 2.0]
    print(eigenVectors) #[[1.0, 0.0, 0.0, 0.0], 
                          [0.0, 0.7071067941112008, -0.7071067682618934, 0.0], 
                          [0.0, 0.7071067682618939, 0.7071067941112008, 0.0], 
                          [0.0, 0.0, 0.0, 1.0]]
    # The correct eigenvectors are 
       [[ 1.         -0.19802951  0.23570226  0.90744251],
        [ 0.          0.69310328 -0.23570226 -0.1814885 ],
        [ 0.          0.69310328  0.94280904  0.362977  ],
        [ 0.          0.          0.          0.1088931 ]]

难道是'numpy.linalg.qr'采用的Household反射算法的问题？我必须应用 Givens 旋转吗？或者，是我二维码算法码的问题？

Answer 1

当输入矩阵对称时，QR 算法已知能够同时获得特征值和特征向量，但对于非对称情况，则没有这样的承诺。

因此，您的第一个输入矩阵之所以有效，是因为它是对称的。

你的第二个输入矩阵不对称。

不正确的特征向量，但通过 python 的 numpy 的 QR 算法正确的特征值

Incorrect eigenvectors but correct eigenvalues by QR algorithm with numpy of python

python

numpy

eigenvalue

eigenvector